在平面上散布三个点，然后测量每对点之间的距离。您很可能会发现三种不同的距离。但如果将点排列成等边三角形，则每个距离都是相同的。在平面上，这是不可能用四个点来做到的。您可以设计的最小距离数是 2——正方形的边和对角线。

但是，如果将其中一个点从平面上抬起来创建一个金字塔，其每条边都是等边三角形，那么您将得到一组四个点，它们之间由一个唯一的距离（即金字塔一侧的长度）分开。三角形。

如果你有很多点，这些模式就会变得更加明显。平面上一百个随机分散的点可能定义 4,950 个不同的成对距离。但如果您将 100 个点排列在一个平坦的方形网格中，则任何一对点都将被 50 个可能的距离之一分开。将点提升到三维网格中，您可以进一步减少该数量。

回答有关点之间距离的问题可能听起来像是一项深奥的练习。但在长达数十年的解决此类问题的探索中，数学家们开发出了具有广泛其他应用的工具，从数论到物理学。

“当人们试图解决问题时，”说 巴勃罗·施梅尔金 不列颠哥伦比亚大学的教授说，“他们开始发现令人惊讶和意想不到的联系。”

最新的进展出现在去年底，当时四位数学家的合作 证明了新的关系 点集的几何形状和点之间的距离之间的关系。

由一组点确定的不同距离的列表称为其距离集；计算该列表中有多少个数字，您就可以得到距离集的大小。 1946 年，多产的数学家 Paul Erdős 推测，对于大量的点，设置的距离不能小于将点排列成网格时得到的距离。这个问题虽然表面上很简单，但结果却非常深刻和困难。即使在二维领域，它仍然没有被完全证明，尽管在 2010 年，两位数学家 如此接近 现在它被认为已经有效解决；它在更高的维度中保持开放。

与此同时，数学家们还提出了这个猜想的新版本。其中最重要的一项出现在 1985纸 by 肯尼思·法尔科纳, 苏格兰圣安德鲁斯大学的数学家。福尔科纳想知道如何描述无数点之间的不同距离。

如果你有无限多个点，简单地计数就不再很有用了。但数学家还有其他定义大小的方法。福尔科纳猜想提出了点集的几何形状（以称为分形维数的数字为特征）与距离集的大小（以称为测度的数字为特征）之间的关系。

分形维数与关于维数的普通直觉一致。正如我们更熟悉的维数概念一样，线段的分形维数为 1，而正方形（其内部已填充）的分形维数为 2。但是，如果点的集合形成更复杂的分形图案 —就像一条无论放大多远都会出现微观扭曲的曲线——它的分形维数可能不是整数。例如，如下所示的科赫雪花曲线，具有一系列不断变小的三角形凸起，其尺寸约为 1.26。

一般来说，无限的点集合具有分形维数，该维数大致取决于它的分散程度。如果它散布在平面上，它的分形维数将接近2。如果它看起来更像一条线，它的分形维数将接近1。对于三维空间中的点集可以定义相同类型的结构，或者更高的维度。

福尔科纳猜想的另一面是距离集合的度量。度量是长度概念的一种数学概括。可以表示为数轴上的点的单个数字的度量为零。但即使是无限集也可以有零测度。例如，整数稀疏地分散在实数中，以至于它们没有集体“长度”，因此形成一组度量零。另一方面，例如 3/4 和 1 之间的实数的度量为 1/4，因为这就是间隔的长度。

该度量提供了一种表征无限多个点之间的不同距离集合的大小的方法。如果距离的数量“小”，则意味着距离集的度量为零：有很多重复的距离。另一方面，如果距离集的度量大于零，则意味着存在许多不同的距离。

在二维中，Falconer 证明了任何分形维数大于 1.5 的点集都具有非零测度的距离集。但数学家很快就相信，对于所有分形维数大于 1 的集合都是如此。“我们正在努力解决这个 1/2 差距，”说 欧雨萌 宾夕法尼亚大学的教授，新论文的合著者之一。此外，福尔科纳的猜想扩展到三个或更多维度：对于分散在一个 d-维空间，它指出如果点的分形维数大于 d / 2，那么距离集的测量值必须大于 0。

2018年，欧先生与同事们一起， 证明了猜想 对于分形维数大于 5/4 的所有集合，在二维中都成立。现在欧-连同 杜秀敏 西北大学, 张瑞祥 加州大学伯克利分校和 任凯文 普林斯顿大学的 - 已经证明，在更高的维度中，确保非零测量距离集的阈值略小于 d/2 + 1/4。 “在这篇论文中，更高维度的界限有史以来第一次比 2 维更好，”Shmerkin 说。 （在二维中，阈值恰好是 d/2 + 1/4。）

这个最新结果只是其中之一 一波 最新进展 on 福尔科纳猜想。该证明改进了调和分析中的技术——一个看似遥远的数学领域，涉及用简单波表示任意复杂的函数——以加强界限。但其中一些技术最初是为了解决同样的问题而开发的。

这个关于点之间距离的问题“已经成为调和分析中一些最伟大想法的游乐场，”说 亚历克斯约瑟维奇 罗切斯特大学的。

尽管他们只弥补了 Falconer 在 1985 年论文中留下的一半空白，但数学家们将最近的大量工作视为证据，表明完整的猜想最终可能是可以实现的。与此同时，他们将继续利用这个问题作为他们最复杂工具的测试场。