Topolojide çalışmanın merkezi nesneleri, manifold adı verilen ve üzerlerine yakınlaştırıldığında düz görünen uzaylardır. Örneğin bir kürenin yüzeyi iki boyutlu bir manifolddur. Topologlar bu tür iki boyutlu manifoldları çok iyi anlıyorlar. Ve üç boyutlu manifoldları ve beş veya daha fazla boyutlu manifoldları anlamlandırmalarına olanak tanıyan araçlar geliştirdiler.

Ancak dört boyutta "her şey biraz çılgına dönüyor" dedi Sam HughesOxford Üniversitesi'nde doktora sonrası araştırmacı. Araçlar çalışmayı durdurur; egzotik davranışlar ortaya çıkar. Gibi Tom Mrowka Massachusetts Teknoloji Enstitüsü'nden bir uzman şöyle açıkladı: "İlginç fenomenlerin ortaya çıkması için yeterli alan var, ancak dağılmalarına neden olacak kadar fazla alan yok."

1990'ların başında Mrowka ve Peter Kronheimer Harvard Üniversitesi'nden araştırmacılar, iki boyutlu yüzeylerin dört boyutlu manifoldların içine nasıl yerleştirilebileceğini araştırıyorlardı. Bu yüzeyleri karakterize etmek için yeni teknikler geliştirerek, dört boyutlu manifoldların normalde erişilemeyen yapısına dair önemli bilgiler edinmelerine olanak sağladılar. Bulguları, geniş bir yüzey sınıfının üyelerinin hepsinin ana manifoldu nispeten basit bir şekilde keserek temel bir özelliği değiştirmeden bıraktığını ileri sürdü. Ancak hiç kimse bunun her zaman doğru olduğunu kanıtlayamadı.

Şubat ayında birlikte Daniel Ruberman Brandeis Üniversitesi, Hughes bir dizi karşı örnek oluşturduk — Ana manifoldlarını matematikçilerin imkansız olduğuna inandığı şekillerde parçalara ayıran "çılgın" iki boyutlu yüzeyler. Karşı örnekler, dört boyutlu manifoldların, daha önceki yıllarda matematikçilerin fark ettiğinden çok daha dikkat çekici derecede çeşitli olduğunu gösteriyor. Mrowka, "Gerçekten çok güzel bir makale" dedi. "Sadece bakmaya devam ediyorum. Orada bir sürü lezzetli küçük şey var.”

Liste yapmak

Geçen yılın sonlarında Ruberman düzenlemeye yardımcı oldu düşük boyutlu topolojideki en önemli açık sorunların yeni bir listesini oluşturan bir konferans. Buna hazırlanırken, 1997'deki çözülmemiş önemli topolojik problemlerin bir önceki listesine baktı. Bu listede Kronheimer'in Mrowka ile yaptığı çalışmaya dayanarak sorduğu bir soru da vardı. Ruberman, "Oradaydı ve sanırım biraz unutulmuştu" dedi. Artık buna cevap verebileceğini düşünüyordu.

Soruyu anlamak için öncelikle iki temel fikri düşünmek faydalı olacaktır: Basit bağlantılı manifoldlar ve temel grup.

Basit bağlantılı manifoldlar, içinden herhangi bir delik geçmeyen boşluklardır. Bir boyutta sonsuz bir çizgi basitçe bağlantılıdır, ancak daire değildir. İki boyutta, sonsuz bir düzlem ve bir kürenin yüzeyi birbirine bağlıdır, ancak bir çörek yüzeyi değildir.

Matematikçiler, döngüleri bir manifold üzerine yerleştirerek ve bunların nasıl deforme olabileceğini düşünerek bu ayrımı kesinleştirirler. Herhangi bir döngü bir noktaya kadar daraltılabiliyorsa, o zaman bir manifold basitçe bağlanır. Örneğin bir düzlemde veya bir kürenin yüzeyinde bu mümkündür; bir ipi gergin çekmeyi düşünün. Ama eğer bu ip bir dairenin etrafında dönerse küçülemez. Benzer şekilde, bir çörek yüzeyinde, merkezi deliğin çevresinden veya içinden geçen ilmekler tek bir noktaya dönüştürülemez. Çöreğin kendisi yolumuza çıkıyor.

Matematikçiler, basitçe birbirine bağlı olmayan uzayları, yapısı döngülerin nasıl küçüldüğünü yansıtan bir nesne olan "temel gruplarını" hesaplayarak sınıflandırırlar. Basitçe bağlanan manifoldlar, yalnızca tek bir öğeden oluşan "önemsiz" bir temel gruba sahiptir. Ancak içlerinde delikler bulunan manifoldlar daha karmaşık temel gruplara sahiptir.

Basitçe birbirine bağlanan dört boyutlu manifoldlar hala oldukça tuhaf olabilir. Bunları anlamak için matematikçiler, içlerindeki iki boyutlu yüzeylere ne olabileceği üzerinde kafa yoruyorlar.

Benzer şekilde, bir kağıt parçasının üzerine düz bir ip ilmeği koymayı düşünün. Bununla yapabileceğin pek bir şey yok. Ama onu üç boyutlu uzaya kaldırdığınızda onu karmaşık düğümlere bağlayabilirsiniz. Tek boyutlu bir manifold olan ipi manipüle etme yolları, onun gömülü olduğu uzayın doğasını netleştirir.

Ruberman, benzer şekilde, dört boyutun daha karmaşık dünyasında, iki boyutlu yüzeylerin "birçok farklı açıdan tüm işin anahtarı" olduğunu söyledi. "Yüzeyler size dört boyutlu bir manifold hakkında beklediğinizden çok daha fazlasını anlatır." Yüzeyler manifoldlar arasında ayrım yapmanızı sağlar: Bir yüzey bir manifoldun içinde yaşayabilirken diğerinde yaşayamıyorsa, manifoldların farklı olduğunu bilirsiniz. Ve yüzeyler eski manifoldlardan yeni manifoldlar oluşturmak için kullanılabilir.

Yüzeylerin de karşılık gelen temel grupları vardır. Ve tümleyenleri de öyle; bir manifoldun yüzeyi çıkardığınızda kalan kısmı. Örneğin bir kürenin veya çörekin yüzeyi gibi iki boyutlu manifoldlardan ekvatoru çıkarırsanız, bağlantısız iki yarım küre elde edersiniz. Ancak yatay halka yerine dikey halkayı çıkarırsanız çörekin yüzeyi tek parça kalır. Benzer şekilde, dört boyutlu bir manifoldun yüzeyini nasıl kestiğinize bağlı olarak farklı türde tamamlayıcılar elde edebilirsiniz.

1990'larda Mrowka ve Kronheimer, dört boyutlu bir manifolddan iki boyutlu bir yüzeyi çıkardığınızda ne olacağını araştırdılar. Eğer manifoldun kendisi basit bağlantılıysa, tamamlayıcılarının da basit bağlantılı olması için yüzeylerin hangi koşulları karşılaması gerekir?

Kronheimer ve Mrowka, bazı yüzey türlerinin basitçe bağlantılı olmayan tamamlayıcılara sahip olabileceğini biliyorlardı. Ancak çalışmaları, başka bir geniş yüzey sınıfının her zaman basit bağlantılı tamamlayıcılara sahip olması gerektiğini gösteriyor gibi görünüyordu.

Neredeyse otuz yıl boyunca hiç kimse bu sınıfta tamamlayıcısı basit bir şekilde bağlantılı olmayan bir yüzey örneği bulamadı. Ancak 2023 sonbaharında sorunla karşılaştıktan sonra Ruberman bunu yapabileceğini düşündü. Dört boyutlu bir manifoldla başlayıp bir yüzeyi kesmek yerine, gerekli özelliklere sahip iki boyutlu bir yüzeyle başladı ve onun etrafına bir manifold inşa etti.

İlk önce yüzeyi dört boyutlu bir damla halinde yağlandırdı. Bu dört boyutlu bloğun, tıpkı top gibi üç boyutlu bir nesnenin iki boyutlu bir sınırı olduğu gibi, üç boyutlu bir sınırı vardı. Ruberman, sınırın diğer tarafına, yüzeyin tamamlayıcısı olarak hizmet edecek, özenle seçilmiş dört boyutlu bir manifold eklemek istedi. Eğer kumar işe yararsa, o zaman bu manifoldun karmaşık bir temel grubu olur, ancak her şeyin temel grubu bir arada ele alındığında önemsiz olur. Yeni inşa edilen dört boyutlu manifold bu nedenle basit bir şekilde bağlanacaktır.

Ancak her şeyi doğru şekilde birbirine yapıştırabilmek için, yeni eklenen temel grubun her türlü özelliği karşıladığını göstermesi gerekiyordu. Ruberman, "Bunu nasıl yapacağıma dair hiçbir fikrim yoktu" dedi.

Daha sonra Ocak ayında grup teorisyeni Hughes, Brandeis'te bir konuşma yaptı. Ruberman seyirciler arasındaydı. Aradığı eksik parçanın Hughes'ta olabileceğini fark etti. İkisi ertesi gün buluştular ve birkaç saat içinde ihtiyaç duydukları ana fikirleri buldular. Hughes, Ruberman'ın kaçırdığı şeyin "grup teorisyenlerinin bu noktada 70, 80 yıldır hesapladığı bir şey olduğunu" söyledi. “Sonsuza kadar bu durumdaydık.” Haftanın sonunda tamamlanmış bir kanıta sahip oldular.

Ruberman, "Ben bazı şeyleri biliyordum, o da bazı şeyleri biliyordu ve ikimiz de bunu yapabilecek kadar bilgimiz vardı" dedi.

Grup teorisinin kanıtta kullanılma şekli nedeniyle "bu biraz sıra dışı" dedi Maggie Miller Austin'deki Teksas Üniversitesi'nden. "Dört boyutlu topologların çoğunun rahat edeceğinden biraz farklı yazılmış."

Sonuç, dört boyutlu topolojinin ne kadar karmaşık olabileceğinin bir başka örneğidir. Hughes, "Düşündüğümüzden daha ilginç yüzey yerleşimleri var" dedi. Bu, manifoldları sınıflandırmayı ve onlarla ilgili diğer sonuçların kanıtlanmasını zorlaştırır.

Ancak Mart ayında İnanç Baykur Ruberman'la geçen yılki liste oluşturma konferansını düzenleyen Amherst'teki Massachusetts Üniversitesi'nden, Çözümü duyurdu 1997 listesindeki basit bağlantılı dört boyutlu manifoldları içeren başka bir probleme.

Görünüşe göre topologlar evi temizliyor.