Ekim ayında, NASA'nın Europa Clipper görevini taşıyan bir Falcon Heavy roketinin Florida'daki Cape Canaveral'dan fırlatılması planlanıyor. 5 milyar dolarlık görev, Jüpiter'in dördüncü en büyük ayı olan Europa'nın yaşamı destekleyip destekleyemeyeceğini bulmak için tasarlandı. Ancak Europa sürekli olarak Jüpiter'in manyetik alanının yarattığı yoğun radyasyon bombardımanına maruz kaldığı için Clipper uzay aracı ayın yörüngesinde dönemez. Bunun yerine, Jüpiter'in etrafında eksantrik bir yörüngeye kayacak ve en kötü radyasyondan geri çekilmeden önce Europa'nın yanından tekrar tekrar (toplamda 53 kez) geçerek veri toplayacak. Uzay aracı Jüpiter'in etrafında her döndüğünde, yolu biraz farklı olacak ve bu da onun Europa'nın kutuplarından ekvatoruna kadar fotoğraf çekebilmesini ve veri toplayabilmesini sağlayacak.

Bunun gibi karmaşık turları planlamak için yörünge planlayıcıları, yörüngeyi adım adım titizlikle hesaplayan bilgisayar modellerini kullanır. Planlama, yüzlerce görev gereksinimini hesaba katıyor ve yörüngeler ve bunların karmaşık turlara nasıl birleştirileceği konusunda onlarca yıldır süren matematiksel araştırmalarla destekleniyor. Matematikçiler artık yörüngelerin birbirleriyle nasıl ilişkili olduğuna dair daha sistematik bir anlayış oluşturmak için kullanılabileceğini umdukları araçlar geliştiriyorlar.

"Elimizde olan şey, mevcut hesaplamaları yaparken bize yol gösteren, daha önce yaptığımız hesaplamalardır. Ancak bu, sahip olduğumuz tüm seçeneklerin tam bir resmi değil" dedi. Daniel ScheeresBoulder'daki Colorado Üniversitesi'nde havacılık ve uzay mühendisi.

NASA'nın Jet Propulsion Laboratuvarı'nda mühendis olan Dayung Koh, "Öğrenciyken yaşadığım en büyük hayal kırıklığının bu olduğunu düşünüyorum" dedi. "Bu yörüngelerin orada olduğunu biliyorum ama nedenini bilmiyorum." Jüpiter ve Satürn'ün uydularına yapılacak görevlerin masrafı ve karmaşıklığı göz önüne alındığında, yörüngelerin neden bulundukları yerde olduğunu bilmemek bir sorundur. Ya işin daha az kaynakla yapılmasını sağlayacak tamamen farklı bir yörünge varsa? Koh'un dediği gibi: “Hepsini buldum mu? Daha fazlası var mı? Bunu söyleyemem."

2016 yılında Güney Kaliforniya Üniversitesi'nden doktorasını aldıktan sonra Koh, yörüngelerin nasıl ailelere göre kataloglanabileceği konusuna ilgi duymaya başladı. Europa'dan uzak olan Jüpiter yörüngeleri böyle bir aileyi oluşturur; Europa'ya yakın yörüngeler de öyle. Ancak diğer aileler daha az belirgindir. Örneğin, Jüpiter ve Europa gibi herhangi iki cisim için, iki cismin yerçekimsel etkilerinin dengelenerek sabit noktalar oluşturduğu bir ara nokta vardır. Yörüngenin merkezinde hiçbir şey olmamasına rağmen uzay aracı bu noktanın etrafında dönebilir. Bu yörüngeler Lyapunov yörüngeleri adı verilen bir aileyi oluşturur. Bir uzay aracı motorunu ateşleyerek böyle bir yörüngeye biraz enerji katarsanız, ilk başta aynı ailede kalırsınız. Ancak yeteri kadar ekleyin ve başka bir aileye, örneğin yörüngesinde Jüpiter'i de içeren bir aileye geçeceksiniz. Bazı yörünge aileleri diğerlerinden daha az yakıta ihtiyaç duyabilir, her zaman güneş ışığında kalabilir veya başka faydalı özelliklere sahip olabilir.

2021'de Koh, kaotik yörüngelerle, genellikle gerçek dünyanın karmaşık ayrıntılarından çok uzak olan soyut bir matematik alanı olan simplektik geometri perspektifinden nasıl başa çıkılacağını tartışan bir makaleyle karşılaştı. Simplektik geometrinin yörüngeleri daha iyi anlamak için ihtiyaç duyduğu araçlara sahip olabileceğinden şüphelenmeye başladı ve onunla temasa geçti. Agustin Moreno, makalenin yazarı. O zamanlar İsveç'teki Uppsala Üniversitesi'nde doktora sonrası araştırmacı olan Moreno, NASA'dan birisinin onun çalışmalarıyla ilgilendiğini duyunca şaşırdı ve memnun oldu. "Beklenmedik bir durumdu ama aynı zamanda oldukça ilginç ve aynı zamanda motive ediciydi" dedi.

İkisi birlikte çalışmaya başladı ve Moreno'nun soyut tekniklerini Jüpiter-Europa sistemine, Satürn'e ve Europa gibi yeraltı okyanusunda hayat barındırabilecek uydusu Enceladus'a uygulamaya çalıştı. Geçtiğimiz yıl diğer işbirlikçileriyle birlikte bir dizi makale yazdılar. bir çerçeve oluştur için yörüngelerin kataloglanması. Şu anda Heidelberg Üniversitesi'nde profesör olan Moreno, Ocak ayında anket kağıdını bir çalışmaya dönüştüren ilk taslağı tamamladı. konuyla ilgili kitap. Kitapla, simplektik geometrinin soyut alanını, uzay görevlerini planlamaya çalışan mühendisler için faydalı hale getirmek istiyor. Eğer başarılı olursa, yüzyıllar boyunca birbirinden ayrılan araştırma alanlarını yeniden bir araya getirecek.

Geometriye Giden Kraliyet Yolu Yok

Simplektik geometrinin kökleri fiziktedir. Basit bir örnek vermek gerekirse bir sarkaç hayal edin. Hareketi iki parametreyle açıklanabilir: açı ve hız. Hız yeterince düşükse sarkaç ileri geri salınacaktır. Hız daha yüksekse daire şeklinde dönecektir. İdealleştirilmiş sürtünmesiz bir sarkaçta, bir başlangıç ​​açısı ve hız seçtiğinizde sistemin davranışı tüm zamanlar için belirlenir.

Açıyı şu şekilde gösteren bir grafik oluşturabilirsiniz: x-eksen ve hız olarak y-eksen. Ancak 360 derecelik yolculuk sizi başlangıca geri getirdiğinden, dikey çizgileri birlikte dikebilirsiniz. x sıfır derece ve nerede x 360 derecedir. Bu bir silindir oluşturur. Silindir doğrudan fiziksel gerçekliği yansıtmıyor - sarkacın izlediği yolları göstermiyor - daha ziyade üzerindeki her nokta sarkacın belirli bir durumunu temsil ediyor. Silindir, sarkacın izleyebileceği yolları belirleyen yasalarla birlikte basit bir alan oluşturur.

Johannes Kepler'in yasalarını formüle ettiği 17. yüzyılın başlarından bu yana fizikçiler ve matematikçiler, yerçekimine maruz kalan iki cismin hareketinin nasıl tanımlanacağı konusunda sağlam bir kavrayışa sahip oldular. Ne kadar hızlı hareket ettiklerine bağlı olarak yolları bir elips, parabol veya hiperbol oluşturur. Karşılık gelen simplektik uzaylar bir sarkaç için olandan daha karmaşıktır, ancak yine de izlenebilir. Ancak üçüncü bir nesnenin getirilmesi kesin, analitik çözümlerin hesaplanmasını imkansız hale getirir. Modele daha fazla gövde eklerseniz durum daha da karmaşık hale gelir. Scheeres, "Bu analitik içgörü olmadan, neredeyse her zaman, bir düzeyde, karanlığa ateş edersiniz" dedi.

Herhangi bir yönde (sağdan sola, yukarı ve aşağı ve önden arkaya) serbestçe hareket edebilen bir uzay aracının konumunu tanımlamak için üç koordinata ve hızını tanımlamak için üç koordinata daha ihtiyacı vardır. Bu altı boyutlu simplektik bir uzay yaratır. Jüpiter, Europa ve bir uzay aracı gibi üç cismin hareketini tanımlamak için 18 boyuta ihtiyacınız var: cisim başına altı tane. Mekanın geometrisi yalnızca sahip olduğu boyut sayısıyla değil, aynı zamanda tanımlanan fiziksel sistemin zaman içinde nasıl geliştiğini gösteren eğrilerle de tanımlanır.

Moreno ve Koh, üç cisim probleminin, cisimlerden birinin (uzay aracı) diğer ikisi (Jüpiter ve Europa) üzerinde hiçbir etkisinin olmayacağı kadar küçük olduğu "kısıtlı" bir versiyonu üzerinde çalıştılar. İşleri daha da basitleştirmek için araştırmacılar, ayın yörüngesinin tamamen dairesel olduğunu varsaydılar. Dairesel yörüngesini, uzay sondasının yolunu dikkate alırken sabit bir arka plan olarak alabilirsiniz. Jüpiter ve Europa'nın hareketi kolayca tanımlanabildiğinden, simplektik uzayın yalnızca uzay aracının konumunu ve hızını hesaba katması gerekir. Dolayısıyla karşılık gelen simplektik uzay 18 boyutlu olmak yerine altı boyutludur. Bu altı boyutlu uzaydaki bir yol bir döngü oluşturduğunda, bu, uzay aracının gezegen-ay sistemi boyunca yaptığı periyodik bir yörüngeyi temsil eder.

Koh, Moreno ile iletişime geçtiğinde, çok küçük bir miktar enerji eklemenin, uzay aracının yörüngesinin bir aileden diğerine atlamasına neden olduğu durumları merak ediyordu. Yörünge aileleri arasındaki bu buluşma noktalarına çatallanma noktaları denir. Çoğu zaman birçok aile tek bir noktada buluşur. Bu onları özellikle yörünge planlayıcıları için faydalı kılmaktadır. Scheeres, "Çatallanma yapısını anlamak, bakmanız gereken ilginç yörüngelerin nerede olduğu konusunda size bir yol haritası sağlıyor" dedi. Koh, çatallanma noktalarının nasıl belirleneceğini ve tahmin edileceğini bilmek istiyordu.

Koh'tan haber aldıktan sonra Moreno birkaç geometri uzmanı daha görevlendirdi: Urs Frauenfelder Augsburg Üniversitesi'nden, Cengiz Aydın Heidelberg Üniversitesi ve Otto van Koert Seul Ulusal Üniversitesi'nden. Frauenfelder ve van Koert uzun süredir simplektik geometri kullanarak üç cisim problemini inceliyorlardı. hatta ortaya çıkarmak potansiyel yeni bir yörünge ailesi. Ancak uzay aracı görevlerini planlayan mühendisler sayısız matematiksel araç kullanmış olsalar da, son yıllarda simplektik geometrinin giderek artan soyutlaması yüzünden cesaretleri kırıldı.

Sonraki aylarda mühendis ve dört matematikçi yavaş yavaş birbirlerinin alanlarını öğrendiler. Moreno, "Disiplinlerarası bir çalışma yaptığınızda, örneğin dil engellerini aşmak biraz zaman alıyor" dedi. "Fakat sabırlı çalışmayı yaptıktan sonra karşılığını almaya başlıyor."

Araç Takımı

Ekip, görev planlamacılara yararlı olacağını umdukları bir dizi aracı bir araya getirdi. Araçlardan biri, Conley-Zehnder endeksi adı verilen ve iki yörüngenin aynı aileye ait olup olmadığını belirlemeye yardımcı olabilecek bir sayıdır. Bunu hesaplamak için araştırmacılar, incelemek istedikleri yörüngeye yakın olan ancak üzerinde olmayan noktaları inceliyorlar. Örneğin, bir uzay aracının Jüpiter çevresinde, Europa'dan gelen yerçekiminin etkisiyle eliptik bir yörünge izlediğini hayal edin. Eğer onu yolundan çıkarırsanız, yeni yörüngesi orijinal yörüngesini taklit edecektir, ancak yalnızca kabaca. Yeni yol orijinal yörüngesi etrafında spiral çizecek ve Jüpiter'in çevresini dolaştıktan sonra biraz farklı bir noktaya geri dönecek. Conley-Zehnder endeksi, sarmalın ne kadar devam ettiğinin bir ölçümüdür.

Şaşırtıcı bir şekilde, Conley-Zehnder endeksi uzay aracını nasıl ittiğinize bağlı değildir; bu, tüm yörüngeyle ilişkili bir sayıdır. Üstelik aynı ailedeki tüm yörüngeler için durum aynıdır. Conley-Zehnder indeksini iki yörünge için hesaplarsanız ve iki farklı sayı elde ederseniz, yörüngelerin farklı ailelerden olduğundan emin olabilirsiniz.

Floer numarası adı verilen başka bir araç, keşfedilmemiş yörünge ailelerine dair ipucu verebilir. Enerji belirli bir sayıya ulaştığında birkaç ailenin bir çatallanma noktasında çarpıştığını ve enerji daha yüksek olduğunda birkaç ailenin daha bu çatallanma noktasından dallandığını varsayalım. Bu, merkezi merkezi çatallanma olan bir aile ağı oluşturur.

Bu çatallanma noktasıyla ilişkili Floer sayısını, ilgili her aileyle ilişkili Conley-Zehnder indekslerinin basit bir fonksiyonu olarak hesaplayabilirsiniz. Bu fonksiyonu hem enerjisi çatallanma noktasından biraz daha küçük olan tüm aileler için hem de enerjisi daha büyük olan aileler için hesaplayabilirsiniz. İki Floer numarası farklıysa bu, çatallanma noktanıza bağlı gizli ailelerin var olduğuna dair bir ipucudur.

Moreno, "Yaptığımız şey, mühendislerin algoritmalarını test etmelerini sağlayacak araçlar sağlamak" dedi. Yeni araçlar öncelikle mühendislerin yörünge ailelerinin nasıl birbirine uyduğunu anlamalarına yardımcı olmak ve onları, gerektiğinde yeni aileler aramaya teşvik etmek için tasarlandı; onlarca yıldır geliştirilen yörünge bulma tekniklerinin yerini alması amaçlanmamıştır.

Moreno, 2023 yılında eserini “Uzay Uçuş Mekaniği Komitesi,” ve aralarında JPL ve Scheeres'in Boulder'daki laboratuvarındakilerin de bulunduğu, uzay yörüngelerini araştıran mühendislerle temas halinde. Scheeres, alanların birbirine karışmasını memnuniyetle karşıladı: Gezegensel hareketlere yönelik basit yaklaşımı uzun zamandır biliyordu, ancak matematiksel olarak derinliğinin olmadığını hissetti. "Matematikçilerin uzmanlıklarını mühendislik tarafına taşımaya çalıştıklarını görmek gerçekten heyecan vericiydi" dedi. Scheeres'in grubu şu anda dört cesedi içeren daha karmaşık bir sistem üzerinde çalışıyor.

Ed BelbrunoFrauenfelder ile çalışmış bir yörünge planlama danışmanı (ve eski JPL yörünge analisti) başvuruların doğrudan olmadığı konusunda uyarıyor. "Semplektik geometri gibi bir matematiksel teknik gerçekten harika yörüngeler ortaya çıkarabilse ve bunlardan çok sayıda elde etseniz de, gerçek bir görevin ihtiyaç duyabileceği kısıtlamalar çok çok azı karşılayabilir." dedi.

Clipper'ın yörüngeleri büyük ölçüde belirlenmiş olsa da Moreno bir sonraki gezegene bakıyor: Satürn. Araştırmasını, Satürn'ün uydusu Enceladus'a bir uzay aracı göndermeyi ümit eden JPL'deki görev planlamacılara zaten sundu. Moreno, simplektik geometrinin "standart uzay görevi araç setinin bir parçası haline geleceğini" umuyor.