วัตถุประสงค์หลักของการศึกษาเกี่ยวกับโทโพโลยีคือช่องว่างที่เรียกว่าท่อร่วม ซึ่งจะดูแบนราบเมื่อคุณขยายเข้าไป ตัวอย่างเช่น พื้นผิวของทรงกลมนั้นเป็นท่อร่วมสองมิติ นักโทโพโลยีเข้าใจแมนิโฟลด์สองมิติดังกล่าวเป็นอย่างดี และพวกเขาได้พัฒนาเครื่องมือที่ช่วยให้พวกเขาเข้าใจแมนิโฟลด์สามมิติและแมนิโฟลด์ที่มีห้ามิติขึ้นไป

แต่ในสี่มิติ “ทุกอย่างจะเพี้ยนไปนิดหน่อย” กล่าว แซมฮิวจ์นักวิจัยหลังปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด เครื่องมือหยุดทำงาน พฤติกรรมที่แปลกใหม่เกิดขึ้น เช่น ทอม มราวก้า ของสถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์อธิบายว่า “มีพื้นที่เพียงพอที่จะมีปรากฏการณ์ที่น่าสนใจ แต่ก็ไม่มากจนทำให้ปรากฏการณ์เหล่านี้แตกสลาย”

ในช่วงต้นทศวรรษ 1990 Mrowka และ ปีเตอร์ โครนไฮเมอร์ ของมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ดกำลังศึกษาว่าพื้นผิวสองมิติสามารถฝังอยู่ภายในท่อร่วมสี่มิติได้อย่างไร พวกเขาพัฒนาเทคนิคใหม่เพื่อกำหนดลักษณะของพื้นผิวเหล่านี้ ทำให้พวกเขาได้รับข้อมูลเชิงลึกที่สำคัญเกี่ยวกับโครงสร้างหลายมิติที่ไม่สามารถเข้าถึงได้ การค้นพบของพวกเขาชี้ให้เห็นว่าสมาชิกของพื้นผิวประเภทกว้าง ๆ ทั้งหมดเฉือนผ่านท่อต้นกำเนิดด้วยวิธีที่ค่อนข้างง่าย โดยไม่เปลี่ยนแปลงคุณสมบัติพื้นฐาน แต่ไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ว่านี่เป็นเรื่องจริงเสมอไป

ในเดือนกุมภาพันธ์นี้ด้วย แดเนียล รูเบอร์แมน จากมหาวิทยาลัยแบรนไดส์ ฮิวจ์ส สร้างลำดับของตัวอย่างแย้ง — พื้นผิวสองมิติ “ประหลาด” ที่แยกส่วนต้นกำเนิดของพวกมันออกในลักษณะที่นักคณิตศาสตร์เชื่อว่าเป็นไปไม่ได้ ตัวอย่างแย้งแสดงให้เห็นว่าท่อร่วมสี่มิติมีความหลากหลายอย่างน่าทึ่งมากกว่าที่นักคณิตศาสตร์ในทศวรรษก่อนๆ เคยตระหนักมาก่อน “มันเป็นกระดาษที่สวยงามจริงๆ” Mrowka กล่าว “ฉันแค่คอยดูมันต่อไป มีของอร่อยเล็กๆ น้อยๆ มากมายอยู่ที่นั่น”

ทำรายการ

เมื่อปลายปีที่แล้ว Ruberman ช่วยจัดระเบียบ การประชุมที่สร้างรายการใหม่ของปัญหาเปิดที่สำคัญที่สุดในโทโพโลยีมิติต่ำ ในการเตรียมตัว เขาได้พิจารณารายการก่อนหน้าของปัญหาทอพอโลยีที่สำคัญที่ยังไม่ได้แก้ไขจากปี 1997 รวมคำถามที่โครนไฮเมอร์ตั้งไว้จากงานของเขากับมราวกา “มันอยู่ในนั้น และฉันคิดว่ามันถูกลืมไปนิดหน่อย” Ruberman กล่าว ตอนนี้เขาคิดว่าเขาสามารถตอบได้

เพื่อให้เข้าใจคำถาม ก่อนอื่นให้พิจารณาแนวคิดสำคัญสองประการ: เพียงเชื่อมต่อท่อร่วมไอดี และกลุ่มพื้นฐาน

ท่อร่วมที่เชื่อมต่อแบบง่ายๆ คือช่องว่างที่ไม่มีรูใดๆ ทะลุผ่านได้ ในมิติหนึ่ง เส้นอนันต์เชื่อมต่อกัน แต่วงกลมไม่ได้เชื่อมต่อกัน ในสองมิติ ระนาบอนันต์และพื้นผิวของทรงกลมเชื่อมต่อกันอย่างง่ายๆ แต่พื้นผิวของโดนัทไม่ได้เชื่อมต่อกัน

นักคณิตศาสตร์ทำให้ความแตกต่างนี้เข้มงวดมากขึ้นโดยการวางลูปบนท่อร่วมและพิจารณาว่าจะทำให้พวกมันเปลี่ยนรูปได้อย่างไร หากวงใดสามารถหดได้จนถึงจุดหนึ่ง ก็แสดงว่าท่อร่วมนั้นเชื่อมต่อกัน ตัวอย่างเช่น บนระนาบหรือพื้นผิวทรงกลม สิ่งนี้เป็นไปได้ ลองนึกถึงการดึงเชือกให้ตึง แต่ถ้าเชือกนั้นพันเป็นวงกลม มันก็จะหดไม่ได้ ในทำนองเดียวกัน บนพื้นผิวของโดนัท ห่วงที่พันรอบหรือผ่านรูตรงกลางจะไม่ถูกเปลี่ยนรูปให้เป็นจุดเดียว โดนัทเองก็เข้ามาขวางทาง

นักคณิตศาสตร์จัดประเภทช่องว่างที่ไม่ได้เชื่อมต่อกันโดยการคำนวณ "กลุ่มพื้นฐาน" ซึ่งเป็นวัตถุที่มีโครงสร้างสะท้อนให้เห็นว่าลูปหดตัวอย่างไร ท่อร่วมที่เชื่อมต่อกันง่ายๆ มีกลุ่มพื้นฐาน "เล็กน้อย" ที่มีเพียงองค์ประกอบเดียว แต่กลุ่มที่มีรูมากมายนั้นมีกลุ่มพื้นฐานที่ซับซ้อนกว่า

ท่อร่วมสี่มิติที่เชื่อมต่อกันเพียงอย่างเดียวยังคงดูแปลกอยู่มาก เพื่อทำความเข้าใจสิ่งเหล่านี้ นักคณิตศาสตร์จะไตร่ตรองว่าจะเกิดอะไรขึ้นกับพื้นผิวสองมิติที่ฝังอยู่ในนั้น

ในการเปรียบเทียบ ลองนึกถึงการร้อยเชือกเป็นวงแบนๆ บนกระดาษ คุณไม่สามารถทำอะไรกับมันได้มากนัก แต่ยกมันขึ้นไปในอวกาศสามมิติ และคุณสามารถผูกมันเป็นปมที่ซับซ้อนได้ วิธีที่คุณสามารถจัดการกับสตริง - ความหลากหลายมิติเดียว - ชี้แจงลักษณะของพื้นที่ที่ฝังอยู่

ในทำนองเดียวกัน ในโลกสี่มิติที่ซับซ้อนมากขึ้น พื้นผิวสองมิติเป็น "กุญแจสำคัญสำหรับธุรกิจทั้งหมด ในรูปแบบที่แตกต่างกัน" Ruberman กล่าว “พื้นผิวบอกคุณเกี่ยวกับท่อร่วมสี่มิติได้มากกว่าที่คุณคาดหวังได้” พื้นผิวช่วยให้คุณแยกแยะความแตกต่างระหว่างท่อร่วมได้: หากพื้นผิวสามารถอยู่ภายในท่อร่วมหนึ่งได้ แต่ไม่สามารถอยู่ในท่อร่วมอื่นได้ คุณจะรู้ว่าท่อร่วมนั้นแตกต่างกัน และพื้นผิวสามารถใช้สร้างท่อร่วมใหม่จากท่อเก่าได้

พื้นผิวยังมีกลุ่มพื้นฐานที่สอดคล้องกันอีกด้วย และส่วนเสริมก็เช่นกัน - ส่วนหนึ่งของท่อร่วมที่เหลืออยู่เมื่อคุณนำพื้นผิวออกไป ลบเส้นศูนย์สูตรออกจากท่อร่วมสองมิติ เช่น พื้นผิวของทรงกลมหรือโดนัท และคุณจะได้ซีกโลกสองส่วนที่แยกออกจากกัน แต่พื้นผิวของโดนัทยังคงเป็นชิ้นเดียวหากคุณถอดวงแหวนแนวตั้งออกแทนที่จะเป็นแนวนอน ในทำนองเดียวกัน ขึ้นอยู่กับว่าคุณตัดพื้นผิวออกจากท่อร่วมสี่มิติอย่างไร คุณจะได้รับส่วนเสริมประเภทต่างๆ

ย้อนกลับไปในทศวรรษ 1990 มโรว์กาและโครนไฮเมอร์ได้ตรวจสอบว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อคุณตัดพื้นผิวสองมิติออกจากท่อร่วมสี่มิติ หากท่อร่วมเชื่อมต่อเพียงลำพัง เงื่อนไขใดที่ต้องทำให้พื้นผิวเป็นไปตามประกันว่าส่วนเสริมจะต้องเชื่อมต่ออย่างง่ายดายด้วย

Kronheimer และ Mrowka รู้ว่าพื้นผิวบางประเภทสามารถมีส่วนเสริมที่ไม่ได้เชื่อมต่อกันเพียงอย่างเดียว แต่งานของพวกเขาดูเหมือนจะบ่งชี้ว่าพื้นผิวประเภทอื่นที่กว้างจะต้องมีส่วนเสริมที่เชื่อมโยงกันอยู่เสมอ

เป็นเวลาเกือบสามทศวรรษแล้วที่ไม่มีใครสามารถค้นพบตัวอย่างของพื้นผิวในระดับนั้นที่ส่วนเสริมไม่ได้เชื่อมโยงกันเพียงอย่างเดียว แต่ในฤดูใบไม้ร่วงปี 2023 หลังจากประสบปัญหา Ruberman ก็คิดว่าเขาทำได้ แทนที่จะเริ่มต้นด้วยท่อร่วมสี่มิติและตัดพื้นผิวออก เขาเริ่มต้นด้วยพื้นผิวสองมิติที่มีคุณสมบัติที่จำเป็น และสร้างท่อร่วมรอบรอบๆ

ขั้นแรก เขาทำให้พื้นผิวอ้วนขึ้นเป็นหยดสี่มิติ หยดสี่มิตินี้มีขอบเขตสามมิติ เช่นเดียวกับวัตถุสามมิติเช่นลูกบอลที่มีขอบเขตสองมิติ Ruberman ต้องการติดท่อร่วมสี่มิติที่เลือกสรรมาอย่างดีเข้ากับอีกด้านหนึ่งของขอบเขต ซึ่งจะทำหน้าที่เป็นส่วนเสริมของพื้นผิว ถ้ากลเม็ดได้ผล กลุ่มนี้ก็จะมีกลุ่มพื้นฐานที่ซับซ้อน แต่กลุ่มพื้นฐานของทุกสิ่งที่นำมารวมกันก็คงจะเป็นเรื่องเล็กน้อย ดังนั้นท่อร่วมสี่มิติที่สร้างขึ้นใหม่จึงสามารถเชื่อมต่อได้อย่างง่ายดาย

แต่เพื่อที่จะสามารถติดทุกอย่างเข้าด้วยกันได้อย่างถูกต้อง เขาต้องแสดงให้เห็นว่ากลุ่มพื้นฐานของส่วนเพิ่มเติมใหม่นั้นมีคุณสมบัติครบถ้วนทุกประเภท “ฉันไม่รู้ว่าต้องทำอย่างไร” Ruberman กล่าว

จากนั้นในเดือนมกราคม ฮิวจ์ซึ่งเป็นนักทฤษฎีกลุ่มได้บรรยายที่แบรนไดส์ Ruberman อยู่ในกลุ่มผู้ชม เขาตระหนักได้ว่าฮิวจ์อาจมีชิ้นส่วนที่หายไปที่เขาตามหา ทั้งสองพบกันในวันรุ่งขึ้น และภายในไม่กี่ชั่วโมง พวกเขาก็ค้นพบแนวคิดหลักที่ต้องการ สิ่งที่ Ruberman ขาดหายไป "คือสิ่งที่นักทฤษฎีกลุ่มได้คำนวณมาเป็นเวลา 70 หรือ 80 ปี ณ จุดนี้" Hughes กล่าว “เราอยู่ที่นี่ตลอดไป” เมื่อถึงปลายสัปดาห์ พวกเขาก็มีการพิสูจน์ที่สมบูรณ์

“ฉันรู้บางอย่าง และเขาก็รู้บางอย่าง และระหว่างเราสองคน เราก็รู้มากพอที่จะทำมัน” รูเบอร์แมนกล่าว

เนื่องจากวิธีการใช้ทฤษฎีกลุ่มในการพิสูจน์ “มันค่อนข้างผิดปกตินิดหน่อย” กล่าว แม็กกี้ มิลเลอร์ ของมหาวิทยาลัยเท็กซัส ออสติน “มันเขียนแตกต่างไปเล็กน้อยจากโทโพโลยีสี่มิติส่วนใหญ่ที่พอใจ”

ผลลัพธ์ที่ได้คืออีกตัวอย่างหนึ่งของความซับซ้อนของโทโพโลยีสี่มิติ “มีการฝังพื้นผิวที่น่าสนใจมากกว่าที่เราคิด” ฮิวจ์กล่าว ทำให้ยากต่อการจำแนกประเภทต่างๆ มากมาย และยากขึ้นในการพิสูจน์ผลลัพธ์ประเภทอื่นๆ เกี่ยวกับสิ่งเหล่านี้

อย่างไรก็ตาม ในเดือนมีนาคม อินานช์ ไบเกอร์ ของมหาวิทยาลัยแมสซาชูเซตส์ แอมเฮิร์สต์ ซึ่งเป็นผู้จัดการประชุมการทำรายการกับ Ruberman เมื่อปีที่แล้ว ประกาศวิธีแก้ปัญหา ไปยังปัญหาอื่นที่เกี่ยวข้องกับการเชื่อมต่อท่อร่วมสี่มิติจากรายการปี 1997

ดูเหมือนว่านักโทโพโลยีกำลังทำความสะอาดบ้าน