I Georgias guvernörsval 2020, några väljare i Atlanta väntade över 10 timmar att rösta. En anledning till de långa köerna var att nästan 10 % av Georgiens vallokaler hade stängt under de föregående sju åren, trots en tillströmning av cirka 2 miljoner väljare. Dessa stängningar var oproportionerligt koncentrerade till övervägande svarta områden som tenderade att rösta demokratiskt.

Men det är inte så enkelt som det kan tyckas att peka ut var "röstöknarna" finns. Ibland avspeglas kapacitetsbrist i långa väntetider vid vallokalerna, men andra gånger är problemet avståndet till närmaste vallokal. Att kombinera dessa faktorer på ett systematiskt sätt är knepigt.

I en tidning som ska publiceras i sommar i tidskriften SIAM recension, Mason Porter, en matematiker vid University of California, Los Angeles, och hans studenter använde verktyg från topologi för att göra just det. Abigail Hickok, en av tidningens medförfattare, kom på idén efter att ha sett bilder av långa köer i Atlanta. "Det var mycket jag tänkte på att rösta, delvis för att det var ett särskilt ångestframkallande val", sa hon.

Topologer studerar de underliggande egenskaperna och rumsliga relationerna för geometriska former under transformation. Två former anses topologiskt likvärdiga om den ena kan deformeras till den andra via kontinuerliga rörelser utan att riva, limma eller införa nya hål.

Vid första anblicken tycks topologin vara en dålig passform för problemet med placering av vallokaler. Topologin sysslar med kontinuerliga former, och vallokalerna är på diskreta platser. Men under de senaste åren har topologer anpassat sina verktyg för att arbeta med diskreta data genom att skapa grafer av punkter förbundna med linjer och sedan analysera egenskaperna hos dessa grafer. Hickok sa att dessa tekniker är användbara inte bara för att förstå fördelningen av vallokaler utan också för att studera vem som har bättre tillgång till sjukhus, livsmedelsbutiker och parker.

Det är där topologin börjar.

Föreställ dig att du skapar små cirklar runt varje punkt på grafen. Cirklarna börjar med en radie på noll, men de växer med tiden. Närmare bestämt, när tiden överstiger väntetiden vid en given vallokal, kommer cirkeln att börja expandera. Som en konsekvens kommer platser med kortare väntetider att ha större cirklar – de börjar växa först – och platser med längre väntetider kommer att ha mindre.

Vissa cirklar kommer så småningom att beröra varandra. När detta händer, dra en linje mellan punkterna i deras mittpunkter. Om flera cirklar överlappar varandra, anslut alla dessa punkter till "simplex", vilket bara är en allmän term som betyder former som trianglar (en 2-simplex) och tetraeder (3-simplex).

Dessa former avslöjar de geografiska platserna där invånarna skulle ha haft tid att rösta. Tomma områden helt omgivna av formerna kallas hål. Hålen är där invånarna antingen skulle ta sig till vallokalen eller stå i kö för att rösta. Så småningom, när tiden ökar, kommer alla hål att försvinna. Om ett hål tar lång tid att försvinna, eller, i matematiskt språkbruk, "dö", betyder det att ett geografiskt område saknar rimlig tillgång till vallokalerna.

För varje stad bestämde forskarna median "dödstid" och varians. En hög median indikerar att det inte finns tillräckligt med vallokaler i staden; en hög varians gör att tillgången till röstningarna är ojämn. Chicago hade några av de lägsta median dödstiderna; New York och Atlanta hade några av de högsta. Forskarna letade också efter stadsdelar som var iögonfallande extremvärden. De fann att en bit av det större Atlanta storstadsområdet som inkluderar städerna South Fulton och Cliftondale hade det högsta "dödsvärdet" i hela studien, vilket tyder på att detta var en särskilt svår plats att rösta på.

Porter vill få mer detaljerad information om väntetider – datauppsättningen de använde var medelvärde över distrikt snarare än för enskilda vallokaler. Fortfarande, Tchad Topaz, en matematiker vid Williams College som inte var involverad i studien, sa att gruppen kunde extrahera en imponerande mängd information trots datasetets begränsningar. "De kommer på något om täckning trots att de inte tänker på varje individs tillgänglighet till varje annan vallokal", sa Topaz.

Porter noterar att matematiker har haft framgång med att använda sofistikerade matematiska tekniker för att kvantifiera gerrymandering, den avsiktliga skevningen av lagstiftande distrikt. Han ser de framsteg som gjorts under det senaste decenniet i matematiken för gerrymandering som en modell att efterlikna. "Vi är i den ödmjuka början just nu," sa han. "Jag vill se fler som arbetar med de här problemen."

Rättelse: Mars 26, 2024
En tidigare version av den här artikeln felstavade Abigail Hickoks efternamn.