Изменение планов произошло во время поездки. В прекрасный апрельский день математики Рэйчел Гринфельд и Сара Пелусе отправились из своего родного учреждения, Института перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси, в Рочестер, штат Нью-Йорк, где оба должны были выступить с докладами на следующий день.

В течение почти двух лет они боролись с важной гипотезой в гармоническом анализе, области, которая изучает, как разбить сложные сигналы на составляющие их частоты. Вместе с третьим сотрудником, Марина Илиопулу, они изучали версию задачи, в которой частоты компонентов представлены в виде точек на плоскости, расстояния друг от друга которых связаны с целыми числами. Трое исследователей пытались показать, что таких точек не может быть слишком много, но до сих пор все их методы терпели неудачу.

Казалось, они крутили свои колеса. Тогда Пелусе пришла в голову мысль: а что, если они откажутся от проблемы гармонического анализа (конечно, временно) и сосредоточат свое внимание на множествах точек, в которых расстояние между любыми двумя точками является в точности целым числом? Какую структуру могут иметь такие множества? Математики пытались понять целочисленные множества расстояний с древних времен. Например, тройки Пифагора (такие как 3, 4 и 5) представляют собой прямоугольные треугольники, все три вершины которых находятся на целочисленном расстоянии друг от друга.

«Наверное, в машине я поднял этот вопрос из-за того, что Рэйчел оказалась в ловушке вместе со мной», — сказал Пелус, который сейчас является профессором Мичиганского университета. Идея преодоления целочисленных расстояний воодушевила Гринфельда.

Прежде чем они это осознали, они предприняли не одно изменение направления, а два.

«Мы фактически перестали обращать внимание на то, куда едем, и не съехали со скоростной автомагистрали», — рассказал Пелусе. «Мы шли в противоположном от Рочестера направлении примерно час, прежде чем заметили это, потому что нас очень волновала математика».

В 1945 году Норман Эннинг и Пол Эрдеш. доказанный что бесконечное множество точек плоскости, находящихся на целых расстояниях друг от друга, должно лежать на прямой. Для конечного набора точек возможности немного более разнообразны. Математики построили большие множества, лежащие либо на прямой, либо на окружности, иногда с тремя или четырьмя дополнительными точками, расположенными за пределами основного сопротивления. (Сами точки не обязательно должны иметь целочисленные координаты — вопрос в расстояниях между ними.)

Никто не придумал большого набора точек с какой-либо другой конфигурацией, но никто не доказал, что другие конфигурации невозможны. За почти 80 лет, прошедших с момента результатов Аннинга и Эрдеша, в этом вопросе практически не наблюдалось прогресса — до сих пор.

Гринфельд, Илиопулу и Пелусе доказанный что все точки в большом наборе целочисленных расстояний — за исключением, возможно, небольшого количества точек-выбросов — должны лежать на одной линии или круге. «Если вы хотите иметь большой набор, в котором все попарные расстояния являются целыми числами, то единственными игроками будут круги и линии», — сказал Йожеф Солимоши Университета Британской Колумбии. Он назвал их результат «фантастическим решением».

Новый подход использует идеи и методы из трех различных областей математики: комбинаторики, теории чисел и алгебраической геометрии. Такое объединение различных областей «может стать настоящим психологическим прорывом», сказал он. Теренс Тао, математик из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе.

Алексей Иосевич, из Университета Рочестера, согласен. «Они заложили очень прочную основу для решения очень широкого круга проблем», — сказал он. «Я абсолютно не сомневаюсь, что это найдет еще более глубокое применение».

Пределы простоты

Внутри плоскости легко выбрать бесконечное множество точек, находящихся на целых расстояниях друг от друга — просто возьмите свою любимую линию, вообразите наложенную на нее числовую линию и используйте некоторые или все точки, соответствующие целым числам. Но это единственный способ построить бесконечное целочисленное множество расстояний на плоскости, как это поняли Аннинг и Эрдеш в 1945 году. Как только у вас есть всего три точки, которые не все находятся на одной прямой, ваша конфигурация становится настолько ограниченной, что это невозможно. чтобы добавить еще бесконечно много точек.

Причина сводится к простой геометрии. Представьте себе, что вы начинаете с двух точек, A и B, которые находятся на целом расстоянии друг от друга. Если вы хотите добавить третью точку C, которая находится на целочисленном расстоянии от A и B, но не лежит на прямой, проходящей через них, большинство точек на плоскости не подойдут. Единственные жизнеспособные точки живут на специальных кривых, называемых гиперболами, которые пересекают A и B. Если A и B находятся, скажем, на расстоянии 4 единиц друг от друга, то таких гипербол ровно четыре. (Гипербола обычно состоит из двух отдельных частей, поэтому, например, две красные кривые на рисунке ниже образуют одну гиперболу.)

После того, как вы выбрали C (который в этом примере составляет 3 единицы от A и 5 единиц от B), у вас вряд ли будет возможность добавить больше очков. Любая точка, которую вы можете добавить, должна лежать на одной из гипербол между A и B или на линии, проходящей через них. Но она также должна лежать на одной из гипербол между А и С и на одной из гипербол между В и С (или соответствующих прямых) — иными словами, новая точка может быть помещена только там, где пересекаются три гиперболы или прямые (хотя не каждая точка пересечения будет работать). Изначально существует лишь конечное число таких гипербол и прямых, и две гиперболы (или прямые) могут пересекаться не более чем в четырех точках. Таким образом, у вас будет только конечное число точек пересечения на выбор — вы не сможете построить бесконечное множество.

Когда дело доходит до понимания того, как на самом деле выглядит конечный набор точек целочисленного расстояния, подход гиперболы быстро становится громоздким. По мере того, как вы добавляете очки, вам приходится бороться с растущим количеством гипербол. Например, к тому времени, когда в вашем наборе будет всего 10 точек, добавление 11-й создаст 10 новых семейств гипербол — все те, которые находятся между вашей новой точкой и каждой из точек, уже входящих в набор. «Вы не сможете добавить много точек, потому что заблудитесь во всех этих гиперболах и пересечениях», — сказал Гринфельд.

Поэтому математики искали более удобные принципы построения больших наборов точек целочисленного расстояния, которые не лежат на прямой. Но они смогли придумать только один подход: поместите свои точки в круг. Если вам нужен набор целочисленных расстояний, скажем, из триллиона точек, есть способы получить триллион точек на круге радиуса 1, расстояния между которыми являются дробными. Затем можно раздувать круг до тех пор, пока все дробные расстояния не превратятся в целые числа. Чем больше очков вы хотите в своем наборе, тем больше вам нужно будет раздуть круг.

За прошедшие годы математики придумали лишь несколько более экзотические примеры. Они могут создавать большие наборы целочисленных расстояний, в которых все точки, кроме четырех, лежат на прямой или все, кроме трех, лежат на окружности. Многие математики подозревают, что это единственные большие целочисленные множества расстояний, в которых не все точки лежат на прямой или окружности. Они узнают это наверняка, если когда-нибудь смогут доказать гипотезу Бомбьери-Ланга. Но мнения математиков о том, верна ли эта гипотеза, разделились.

Со времени работы Аннинга и Эрдеша в 1945 году математики мало продвинулись в понимании множеств целочисленных расстояний. Со временем проблема целочисленного расстояния, казалось, присоединилась к множеству других проблем комбинаторики, теории чисел и геометрии, которые легко сформулировать, но, казалось бы, невозможно решить. «Это показатель того, насколько жалка наша математика», — сказал Тао.

В каком-то смысле проблема целочисленных расстояний стала жертвой собственных первых успехов. Доказательство гиперболы, с его гениальной простотой, символизирует философию Эрдеша, очень влиятельного математика, который часто говорил о «Книге» — воображаемом сборнике самых элегантных доказательств в математике. По словам Иосевича, культура простоты, которую продвигал Эрдеш, привела к «потрясающим результатам» в комбинаторной геометрии. Но это также может привести к «слепым пятнам» — в данном случае о ценности использования подходов из алгебраической геометрии.

«Я не думаю, что вы найдете результат [в алгебраической геометрии], доказанный за последние 50 лет, который не был бы очень технически сложным и запутанным», — сказал Иосевич. «Однако иногда все должно быть именно так».

Оглядываясь назад, можно сказать, что проблема целочисленных расстояний ждала математиков, которые были готовы рассмотреть более неуправляемые кривые, чем гиперболы, а затем использовать малопонятные инструменты алгебраической геометрии и теории чисел, чтобы укротить их. «Для этого требовались люди с достаточной широтой знаний и интересов», — сказал Иосевич.

По его словам, большинство математиков довольствуются использованием нескольких инструментов в одном из разделов математики на протяжении всей своей карьеры. Но Гринфельд, Илиопулу и Пелусе — бесстрашные исследователи, сказал Иосевич. «Они рассматривают математику как единое целое».

Усложнение проблемы

Летом 2021 года Гринфельд решила, что пришло время заняться проблемой гармонического анализа, над которой она размышляла еще со времён аспирантуры. Классический гармонический анализ, который составляет основу обработки сигналов в реальном мире, заключается в разложении сигналов на синусоидальные волны разных частот и фаз. Этот процесс работает, потому что можно создать бесконечный список синусоидальных волн, которые при объединении отражают все характеристики любого сигнала без какой-либо избыточности.

Однако часто исследователи хотят изучить что-то более сложное, чем одномерный сигнал. Например, они могут захотеть разложить сигнал на диске в плоскости. Но на диске может храниться только ограниченный набор совместимых синусоидальных волн — слишком мало, чтобы уловить поведение всех возможных сигналов на диске. Тогда возникает вопрос: насколько большой может быть эта конечная коллекция?

В таком наборе частоты синусов могут быть представлены как точки на плоскости, которые, кажется, не склонны группироваться в линии и круги: вы никогда не найдете три точки, которые все расположены близко к одной и той же линии, или четыре, которые все расположены близко. в тот же круг. Гринфельд надеялся использовать это отвращение, чтобы доказать, что эти наборы частот могут содержать лишь несколько точек.

На встрече в Боннском университете в 2021 году Гринфельд присутствовал на докладе о «детерминантном методе», методе из теории чисел, который можно использовать для оценки того, сколько целых точек определенных типов может лежать на кривых. Она поняла, что этот инструмент может быть именно тем, что ей нужно. Гринфельд завербовал Илиопулу и Пелусе, которые также присутствовали на встрече. «Мы начали изучать этот метод вместе», — сказал Гринфельд.

Но, несмотря на многочисленные усилия, им не удалось применить определяющий метод к своей цели, и к весне 2023 года они почувствовали себя обескураженными. Иосевич пригласил Гринфельда и Пелусе поехать в Рочестер. «Поэтому мы подумали: «Хорошо, мы поедем в Рочестер, и разговор с Алексом придаст нам новых сил», — сказал Пелусе. Но, как оказалось, они приземлились в Рочестере уже воодушевлёнными благодаря оживленному обсуждению наборов целочисленных расстояний во время их незапланированного объезда вдоль реки Саскуэханна в Пенсильвании.

Они опоздали на запланированный ужин с Иосевичем, но нашли его ожидающим в вестибюле отеля с пакетами еды на вынос. Он простил им опоздание — и более чем простил на следующее утро, когда они рассказали ему о своем плане заняться наборами целочисленных расстояний. «Он был так взволнован», — вспоминает Пелусе. «Эмоционально это был огромный толчок».

Как и в случае с подходом гиперболы, Гринфельд, Илиопулу и Пелусе пытались контролировать структуру наборов целочисленных расстояний, определяя семейства кривых, на которых должны лежать точки. Метод гиперболы становится слишком запутанным, как только точек становится больше, чем несколько, но Гринфельд, Илиопулу и Пелусе придумали, как учитывать множество точек одновременно, перемещая всю конфигурацию в многомерное пространство.

Чтобы увидеть, как это работает, предположим, что вы начинаете с «опорной» точки A в вашем наборе целочисленных расстояний. Каждая другая точка в наборе находится на целочисленном расстоянии от A. Точки живут на плоскости, но вы можете превратить плоскость в трехмерное пространство, прикрепив к каждой точке третью координату, значением которой является расстояние от A. Например, , предположим, что A — точка (1, 3). Тогда точка (4, 7), находящаяся на расстоянии 5 единиц от А, превращается в точку (4, 7, 5) в трехмерном пространстве. Этот процесс преобразует плоскость в конус в трехмерном пространстве, вершина которого находится в точке A, теперь обозначенной (1, 3, 0). Точки целочисленного расстояния становятся точками трехмерного пространства, лежащими на конусе, а также на определенной решетке.

Аналогично, если вы выберете две опорные точки, A и B, вы сможете преобразовать точки на плоскости в точки в четырехмерном пространстве — просто дайте каждой точке две новые координаты, значениями которых являются ее расстояния до A и B. Этот процесс преобразует плоскость в изогнутую поверхность в четырехмерном пространстве. Таким образом вы можете продолжать добавлять больше контрольных точек. С каждой новой контрольной точкой размерность увеличивается на единицу, и плоскость превращается в еще более извилистую поверхность (или, как говорят математики, в поверхность более высокой степени).

Имея эту структуру, исследователи использовали детерминантный метод из теории чисел. Определители — это числа, обычно связанные с матрицами, которые отражают множество геометрических свойств набора точек — например, конкретный определитель может измерять площадь треугольника, образованного тремя точками. Метод определителей предлагает способ использовать такие определители для оценки количества точек, которые одновременно лежат на волнистой поверхности и на решетке — именно с такой ситуацией имели дело Гринфельд, Илиопулу и Пелусе.

Исследователи использовали направление работы, основанное на детерминантном методе, чтобы показать, что когда они увеличивают целочисленное расстояние до достаточно большого размера, все точки должны лежать на небольшом количестве специальных кривых. Эти кривые, если их тени на плоскости не являются линией или кругом, не могут содержать много точек решетки, которые являются единственными кандидатами на точки в наборе целочисленных расстояний. Это означает, что количество точек в наборе, которые могут лежать за пределами основной линии или круга, ограничено — исследователи показали, что оно должно быть меньше, чем очень медленно растущая функция диаметра набора.

Их оценка не соответствует стандарту гипотезы «четыре точки за пределами прямой или три точки за пределами окружности», которая, по мнению многих математиков, верна для множеств больших целочисленных расстояний. Несмотря на это, результат показывает, что «суть гипотезы верна», — сказал Джейкоб Фокс из Стэнфордского университета. По словам математиков, полное доказательство гипотезы, вероятно, потребует еще одного внедрения новых идей.

Схема многомерного кодирования, разработанная командой, «чрезвычайно надежна», сказал Иосевич. «Есть не только приложения в принципе — есть приложения, о которых я уже думаю».

Одно из применений, как надеются Гринфельд, Илиопулу и Пелусе, будет связано с исходной задачей гармонического анализа, к которой все трое теперь возвращаются. Их результат по наборам целочисленных расстояний «может стать ступенькой на пути к этому», сказал Гринфельд.

Иосевич предсказывает, что синтез комбинаторики с алгебраической геометрией, инициированный исследователями, не остановится на целочисленных расстояниях или смежных задачах гармонического анализа. «Я считаю, что то, что мы видим, — это концептуальный прорыв», — сказал он. «Это посылает сигнал людям в обеих областях, что это очень продуктивное взаимодействие».

По словам Тао, это также дает понять, что иногда стоит усложнять проблему. Математики обычно стремятся к обратному, отметил он. «Но это пример, когда усложнение проблемы на самом деле является правильным шагом».

По его словам, это достижение изменило его отношение к кривым высокой степени. «Иногда они могут быть вашими друзьями, а не врагами».