Numa recente manhã de outubro, Rob Kirby parou diante de uma sala cheia de matemáticos e disse-lhes para não se sentirem limitados pela maneira como ele havia feito as coisas no passado.

Durante o último meio século Kirby, 85, tem sido uma figura central na topologia de baixa dimensão, o estudo de formas deformáveis. Além de importantes contribuições de pesquisa, em 1978 publicou o primeira versão do que veio a ser conhecido como “lista de Kirby” – uma coleção de 80 problemas em aberto que ajudaram a definir a agenda de pesquisa para a área nas próximas décadas. Duas décadas depois, em 1997, publicou um segundo, igualmente influente versão da lista.

As poucas dezenas de matemáticos aos quais Kirby se dirigia haviam se reunido no Instituto Americano de Matemática (AIM) em Pasadena para criar uma terceira versão da lista. Não que todos os problemas das listas anteriores tivessem sido resolvidos — a maioria não —, mas muitos haviam saído de moda. Embora a matemática seja eterna, a área é praticada por humanos que seguem modismos, e muitas das velhas questões não eram mais consideradas interessantes.

“Achamos que alguns subcampos são prestigiosos e outros, ninguém se importa com isso.” disse Maggie Miller da Universidade do Texas, Austin, um dos 14 editores da lista.

A conferência foi idealizada por Daniel Rubermann da Brandeis University, que foi aluno de Kirby no início dos anos 1980, e Inanç Baykur da Universidade de Massachusetts, que fez pós-doutorado com Ruberman. Eles queriam que a lista fosse composta de problemas difíceis e importantes.

“Deveria ser um problema suficientemente interessante para que, se surgisse uma solução, tivesse o potencial de mudar o campo”, disse Miller. Baykur acrescentou: “Talvez uma pequena percentagem possa ser resolvida nos próximos dois ou três anos”.

As formas como os matemáticos decidem o que é importante mudaram no meio século desde que Kirby publicou a sua primeira lista. Mesmo que a verdade ou falsidade de conjecturas individuais seja uma questão de verdade objectiva, classificar a sua importância é um processo subjetivo e social. E esse processo parece muito diferente no mundo globalmente interligado de hoje do que era na década de 1970. A história da nova lista é a história dessas mudanças.

O início da lista

A carreira de Kirby começou com uma lista de problemas. Em 1963, ainda estudante de pós-graduação na Universidade de Chicago, participou de uma conferência em Seattle onde o matemático John Milnor apresentou uma lista dos sete problemas abertos mais importantes em topologia. O último problema foi a conjectura do anel, que afirma que os espaços entre duas esferas adequadamente definidas sempre assumem a forma de um anel, que é a região entre dois círculos concêntricos.

Isto é verdade para círculos e bolas tridimensionais normais, mas em dimensões superiores – envolvendo pares de esferas de cinco ou seis ou qualquer número de dimensões – acontecem coisas surpreendentes. Em 1969, enquanto professor assistente na Universidade da Califórnia, em Los Angeles, Kirby provou que isso é verdade para dimensões cinco e superiores, dadas algumas restrições (as esferas têm de ser suaves num sentido matemático particular).

Com base nesse resultado, a UCLA o promoveu diretamente a professor titular e dobrou seu salário. Dois anos depois, ganhou o prestigiado Prêmio Oswald Veblen em Geometria. Kirby atribui esse sucesso no início da carreira em parte à existência da lista Milnor, que lhe proporcionou uma variedade maior de projetos para escolher do que ele teria recebido das pessoas imediatamente ao seu redor na pós-graduação.

“Para aqueles que gostam de resolver problemas e não querem necessariamente fazer o que o seu conselheiro lhes diz para fazer, uma lista de problemas é valiosa”, disse ele.

Kirby começou a montar sua primeira lista de problemas em agosto de 1976, em uma conferência da American Mathematical Society na Universidade de Stanford. Ele construiu a lista ao longo dos dois anos seguintes, por meio de telefonemas, cartas e conversas informais com matemáticos em conferências das quais participou, e publicou-a como um extenso artigo de jornal em 1978.

Como diz Miller: “Ele simplesmente ligou para todo mundo que conhecia”.

A lista continha cerca de 80 problemas organizados em cinco capítulos. Os primeiros quatro capítulos trataram de nós unidimensionais, superfícies bidimensionais e variedades tridimensionais e quadridimensionais (espaços como a superfície de uma esfera que parece plana localmente, mas pode ter uma estrutura global mais complicada). O quinto capítulo foi para problemas diversos. Embora Kirby tenha consultado amplamente para compilar a lista, o produto final foi inconfundivelmente dele.

“Fui mais inclusivo do que exclusivo”, disse Kirby, mas acrescentou: “Fui praticamente o árbitro final”.

A segunda lista

O final da década de 1970 foi um momento auspicioso para criar uma lista de problemas em topologia. O campo era pequeno no início da década e nos 10 anos seguintes explodiu. Em 1981 Michael Freedman resolveu uma versão quadridimensional da conjectura de Poincaré em um prova monumental isso levaria anos para digerir. (A conjectura pergunta se os objetos matemáticos que se assemelham a esferas devem de fato ser esferas. A resposta, provou Freedman, é sim.) Um ano depois, William Thurston publicou a conjectura da geometrização, que classifica algumas estruturas topológicas em categorias geométricas. A conjectura trouxe ferramentas de análise (uma forma avançada de cálculo) diretamente para a topologia. Naquele mesmo ano Simon Donaldson introduziu geometria diferencial (que combina cálculo e geometria) no campo com seu trabalho em variedades quadridimensionais.

“É difícil descrever o quão rápido foi o progresso. Foi um daqueles grandes períodos da matemática, com uma revolução após a outra”, disse Ruberman.

Como resultado de toda essa atividade, a lista de Kirby ficou quase desatualizada em poucos anos. Mas construir listas de problemas não era a principal ocupação de Kirby. Foi só numa conferência na Universidade da Geórgia, no verão de 1993, que ele decidiu revisar a lista.

Kirby começou a coletar problemas na conferência e continuou o trabalho por e-mail, algo que não era de uso comum quando ele elaborou a primeira lista. Como resultado, a lista se expandiu. A lista final continha 415 problemas e foi publicada como livro em 1997. Assim que a terceira lista foi iniciada, o segundo esforço passou retroativamente a ser conhecido como K2, como na segunda versão da lista de Kirby, e também como uma referência à segunda. -montanha mais alta do mundo. O formato expandido ajudou a consolidar a segunda versão da lista como referência e scorecard. Resolver um problema de Kirby faz com que jovens matemáticos sejam notados.

“Se você está escrevendo uma carta de recomendação para alguém e essa pessoa resolveu um problema de Kirby, mencione isso em sua carta”, disse João Balduíno, um matemático do Boston College que participou do workshop e está ajudando a editar a lista.

Raio Arunima, líder de grupo do Instituto Max Planck de Matemática em Bonn, Alemanha, que participou do workshop, disse que uma das primeiras coisas que seu orientador de doutorado fez depois que ela passou nos exames de qualificação em 2011 foi dar-lhe uma cópia da lista K2, “ para ter uma noção dos grandes problemas nos quais as pessoas estão interessadas.”

É claro que as decisões sobre o que é importante são influenciadas por quem está na sala tomando essas decisões. As listas de Kirby refletem uma filosofia pedagógica que surgiu da visão de mundo sociopolítica de Kirby. Ele se descreve como um liberal clássico e cita o filósofo britânico do século XIX, John Stuart Mill, como uma influência importante em seu pensamento.

“Os liberais clássicos realmente acreditavam na liberdade, na liberdade de expressão e na mão leve do governo, então esse é o meu ponto de vista”, disse ele. “De certa forma, isso significa não dizer aos meus alunos o que fazer. É um pouco dar-lhes rédea solta.”

Kirby infunde essas crenças na maneira como pensa e fala sobre a comunidade matemática. Em 2021, juntamente com mais de 1,000 outros profissionais matemáticos e científicos baseados na Califórnia, ele co-assinou um carta aberta criticando a proposta do estado de adotar um novo currículo de matemática para o ensino fundamental e médio que teria tornado as considerações de justiça social mais centrais na forma como o estado ensina a matéria. A proposta da Califórnia foi submetida críticas consideráveis ​​na comunidade matemática para, entre outras coisas, limitar a disponibilidade de cursos avançados e para diminuir a ênfase nos cursos de pré-cálculo em favor da “ciência de dados”.

Kirby tem sido historicamente cético quanto à existência de preconceitos estruturais na matemática, inclusive no que diz respeito ao desequilíbrio de gênero na área. Na década de 1970, cerca de 10% dos matemáticos eram mulheres; hoje quase 30% são, segundo um 2020 relatório pelo Conselho Científico Internacional.

In um artigo que ele escreveu na década de 1990, e que foi submetido para publicação no Avisos da American Mathematical Society mas nunca publicado, Kirby argumentou que esses números sombrios não eram o resultado de qualquer preconceito na área. “Na minha opinião, o menor número de mulheres na matemática não se deve à discriminação por parte dos homens nem a qualquer inferioridade inerente às mulheres, mas sim ao simples facto de mais homens do que mulheres optarem por ingressar na matemática”, escreveu Kirby.

Para muitos matemáticos, a realidade de que poucas mulheres entram nessa área é tudo menos um simples fato. “As evidências sugerem que há um efeito de feedback aqui: como há tão poucas professoras, as alunas não conseguem ver uma carreira clara na matemática, então decidem não fazer doutorado.” escreveu quatro proeminentes matemáticas em 2022 no Suplemento do Times Higher Education. Tal como afirma o relatório do Conselho Internacional de Ciência, depois de analisar um conjunto de dados de centenas de milhares de artigos matemáticos publicados, “vários factores estruturais e sistémicos devem ter afectado as carreiras das mulheres matemáticas de formas diferentes das dos homens”.

As opiniões de Kirby são bem conhecidas na comunidade de topologia de baixa dimensão. Perguntei a Kirby se ele achava que isso tornava mais difícil para as mulheres participarem em ambientes como a recente conferência, onde ele teve um papel proeminente. Ele disse que não sabia porque, com exceção de um matemático, ninguém jamais havia tocado no assunto com ele.

Ray, que atua como responsável pela igualdade de gênero no Instituto Max Planck, disse: “Não creio que isso tenha influenciado a forma como a conferência foi sentida. Acho que isso molda a forma como ele é visto no campo da matemática, mas acho que, em geral, separamos a matemática do matemático.”

Um esforço comunitário

Assim como aconteceu após o K1, a topologia de baixa dimensão avançou rapidamente após o lançamento do K2. Um grande desenvolvimento foi a elaboração da teoria de Seiberg-Witten, que utilizou ideias da física para distinguir entre variedades quadridimensionais. No final dos anos 2000, a lista Kirby estava pronta para ser atualizada novamente.

“A questão é que o campo tornou-se muito maior desde a década de 1990, tornou-se enorme”, disse Baykur.

Desta vez, o ímpeto para a criação de uma nova lista veio de Ruberman e Baykur. Eles começaram a coletar problemas por volta de 2013. Mas entre suas outras obrigações e a pandemia, só em outubro de 2023 é que conseguiram reunir um grupo de topologistas para se encontrarem pessoalmente. Eles queriam que a terceira versão da lista fosse mais um esforço comunitário.

“A lista inicial foi maravilhosa, estou muito feliz por estar lá, mas este novo formato é louvável por torná-la um pouco mais aberta”, disse Ray.

No final de 2022, Kirby juntou-se a Baykur e Ruberman como co-organizador da conferência. Eles convidaram especialistas das principais áreas de topologia de baixa dimensão – correspondendo à mesma estrutura de cinco capítulos que Kirby havia usado em versões anteriores da lista – mas tentaram evitar convidar tantos especialistas que ninguém tivesse nada em comum com mais ninguém.

Baykur e Ruberman fizeram a maior parte da organização, enquanto Kirby assumiu um papel mais titular.

“É como se fosse o bebê do Rob, você sabe, como se ele estivesse emocionalmente no comando. Mas Danny e Inanç cuidaram de toda a logística”, disse Miller.

Na segunda-feira, 30 de outubro, o grupo começou a trabalhar na lista K3 (como foi chamada por motivos óbvios e também em referência às superfícies K3, que são objetos importantes na topologia).

A lista refletia as maneiras pelas quais a topologia de baixa dimensão cresceu desde K2. No início da década de 1990, o trabalho de Andreas Floer deu origem a novos métodos para classificação de variedades tridimensionais. No final daquela década, esses métodos floresceram em toda uma área de estudo, a homologia de Heegaard Floer, e dentro dessa área existem agora uma série de abordagens diferentes para distinguir variedades. Todas essas abordagens devem ser consistentes entre si, mas não se sabe ao certo se o são, e o K3 incluirá questões que visam resolver a questão.

Kirby montou acampamento na sala de aula principal, onde os matemáticos se reuniam todas as manhãs, evitando principalmente as sessões de brainstorming. Na manhã de terça-feira Dave Gabai da Universidade de Princeton deu uma palestra para todo o grupo sobre as conexões entre a conjectura de Schoenflies e a conjectura de Poincaré, sem dúvida os dois problemas abertos mais importantes na topologia quadridimensional suave.

A conjectura de Schoenflies tem um sabor semelhante à conjectura do anel em que Kirby trabalhou na década de 1960. Ele prevê que se duas esferas diferem em uma dimensão (como um círculo versus a superfície de uma bola), e você incorpora a de dimensão inferior (o círculo) na de dimensão superior (a superfície de uma bola), a primeira sempre corta este último no equivalente a duas bolas. Isto é claramente verdade quando você grava um círculo em um globo (como se fosse para formar o equador), mas como acontece com a conjectura do anel, é menos verdadeiro em dimensões superiores.

Kirby encontrou Gabai depois, e os dois conversaram durante horas sobre as implicações da conversa de Gabai. Em outros momentos da semana, Kirby passou algum tempo enviando e-mails para sua extensa rede na comunidade matemática pedindo contribuições para a lista.

“Em alguns aspectos, foi bastante semelhante ao que ele fez nas listas anteriores”, disse Ruberman. “Ele não costumava entrar tanto nos quartos. [Ele] enviava e-mails para as pessoas, dizendo: 'Alguém no workshop disse isso, o que você acha disso?'”

A sala de guerra

Nos últimos dois dias da conferência, Baykur e Ruberman pediram aos participantes que escrevessem os problemas que haviam compilado. Parecia uma sala de guerra, enquanto os matemáticos corriam para escrever resumos dos problemas que haviam resolvido antes do voo para casa.

“Realmente parecia que você está na faculdade e tem lição de casa para entregar no dia seguinte, e todos na classe estão em uma sala e são 2 da manhã”, disse Miller.

Um documento compartilhado no qual os matemáticos compilavam a lista estava quase vazio na manhã de quinta-feira, mas cresceu rapidamente com dezenas de matemáticos editando ao mesmo tempo. Na sexta-feira, a lista de problemas tinha mais de 250 páginas. A experiência turbulenta foi quase irreconhecível em comparação com os dois esforços anteriores de Kirby.

“Isso me fez sentir velho, no sentido de que quando fiz K2, fiz isso durante um período de dois a três anos. Eu me sentava com uma pessoa e escrevíamos o problema juntos”, disse Kirby. “Com o K3, estive envolvido apenas em um número modesto de problemas.”

Baykur e Ruberman esperam publicar uma lista de cerca de 400 problemas até o final do ano, após revisões e acréscimos de topologistas que não estiveram presentes na reunião de Pasadena. Baykur, Ruberman e os outros editores ainda estão debatendo com que frequência atualizar a lista. Eles poderiam estender a vida útil do K3 mantendo uma versão on-line atualizada, mas veem desvantagens em fazê-lo. As duas primeiras listas, disse Baykur, “eram documentos históricos e foi extremamente informativo ver como eles viam as coisas nas décadas de 1970 e 1990, e como pensavam sobre a matemática. Eu queria ter um documento contemporâneo semelhante.”