Tendemos a pensar na matemática como algo puramente lógico, mas o ensino da matemática, os seus valores, a sua utilidade e o seu funcionamento estão repletos de nuances. Então, o que é a “boa” matemática? Em 2007, o matemático Terence tao escreveu um ensaio para o Boletim da Sociedade Americana de Matemática que procurou responder a esta questão. Hoje, como ganhador da Medalha Fields, do Prêmio Revelação em Matemática e da MacArthur Fellowship, Tao é um dos mais honrados e prolíficos matemáticos vivos. Neste episódio, ele se junta ao nosso apresentador e colega matemático Steve Strogatz para revisitar os ingredientes da boa matemática.

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STEVEN STROGATZ: Em outubro de 2007, quando a primeira geração do iPhone ainda era uma mercadoria em alta e o mercado de ações estava em alta antes da Grande Recessão, Terence Tao, professor de matemática na UCLA, estava determinado a responder a uma questão que há muito é debatida entre os matemáticos: o que exatamente é uma boa matemática?

É uma questão de rigor? Elegância? Utilidade no mundo real? Terry escreveu um ensaio muito atencioso e generoso, eu diria até de coração aberto, sobre todas as maneiras pelas quais a matemática poderia ser boa. Mas agora, mais de 15 anos depois, precisamos repensar o que é a boa matemática?

Meu nome é Steve Strogatz e este é “The Joy of Why”, um podcast da Revista Quanta onde minha co-apresentadora, Janna Levin, e eu nos revezamos explorando algumas das maiores questões sem resposta em matemática e ciências hoje.

(Peças temáticas)

Aqui hoje para revisitar a eterna questão do que torna a matemática boa está o próprio Terry Tao. O professor Tao é autor de mais de 300 artigos de pesquisa em uma área surpreendentemente ampla da matemática, incluindo análise harmônica, equações diferenciais parciais, combinatória, teoria dos números, ciência de dados, matrizes aleatórias e muito mais. Ele é conhecido como o “Mozart da Matemática”. E como vencedor de uma Medalha Fields, de um Prémio Revelação em Matemática, de uma Bolsa MacArthur e de muitos outros prémios, esse apelido é certamente bem merecido.

Terry, bem-vindo ao “A alegria do porquê”.

TERÊNCIO TAO: Prazer em estar aqui.

STROGATZ: Estou muito entusiasmado por poder falar com você sobre a questão do que torna alguns tipos de pesquisa matemática bons. Lembro-me claramente de folhear o Boletim da Sociedade Americana de Matemática em 2007 e me deparando seu ensaio sobre este assunto que você posou para nós. É algo em que todos os matemáticos pensam. Mas para as pessoas que talvez não estejam tão familiarizadas, você poderia nos dizer como chegou a essa questão? Como você definia a boa matemática naquela época?

TAO: Certo, sim. Na verdade, foi uma solicitação. Então o editor do Boletim na época me pediu para contribuir com um artigo. Acho que tive uma ideia muito ingênua do que era matemática quando estudante. Eu meio que tive a ideia de que havia algum tipo de conselho de barbas grisalhas que distribuiria problemas para as pessoas resolverem. E foi um choque para mim, como estudante de pós-graduação, perceber que não havia realmente essa autoridade central para distribuir problemas e que as pessoas faziam pesquisas autodirigidas.

Continuei participando de palestras e ouvindo outros matemáticos falarem sobre o que eles acham interessante e o que os entusiasma com a matemática, e o fato de que cada matemático tem uma maneira diferente de abordar a matemática. Tipo, alguns buscariam aplicações, alguns por uma espécie de beleza estética, alguns apenas pela resolução de problemas. Eles queriam resolver um problema e se concentrariam nas tarefas mais difíceis e desafiadoras. Alguns se concentrariam na técnica; alguns tentariam tornar as coisas o mais elegantes possível.

Mas o que me impressionou ao ouvir tantos desses diferentes matemáticos falarem sobre o que eles consideram valioso na matemática é que, embora todos nós tivéssemos ideais diferentes sobre como deveria ser a boa matemática, todos eles tendem a convergem para a mesma coisa.

Se uma parte da matemática for realmente boa, as pessoas que buscam a beleza acabarão por encontrá-la. As pessoas que buscam, que valorizam, você sabe, o poder técnico ou as aplicações acabarão por chegar a ele.

Eugene Wigner tinha um ensaio muito famoso sobre o eficácia irracional da matemática nas ciências físicas há quase um século, onde ele apenas observou que havia áreas da matemática - por exemplo, a geometria Riemanniana, o estudo do espaço curvo - que inicialmente era apenas um exercício puramente teórico para os matemáticos, você sabe, tentando provar a postulado paralelo e assim por diante, revelando ser exatamente o que Einstein, Poincaré e Hilbert precisavam para descrever a matemática da relatividade geral. E isso é apenas um fenômeno que ocorre.

Portanto, não é apenas a matemática, que [o que] os matemáticos consideram intelectualmente interessante acaba sendo fisicamente importante. Mas mesmo dentro da matemática, assuntos que os matemáticos consideram elegantes também proporcionam uma visão profunda.

O que eu sinto é que, você sabe, existe alguma boa matemática platônica por aí, e todos os nossos diferentes sistemas de valores são apenas maneiras diferentes de acessar essas coisas boas e objetivas.

STROGATZ: Isso é muito interessante. Sendo eu mesmo uma espécie de pessoa inclinada ao pensamento platônico, fico tentado a concordar. Embora eu esteja um pouco surpreso ao ouvir você dizer isso, porque eu teria pensado que para onde você estava indo inicialmente parecia ser, tipo, há tantos pontos de vista diferentes sobre isso. No entanto, é um facto interessante, uma espécie de facto empírico, que converjamos para concordar sobre o que é bom ou não, embora, como você diz, cheguemos a isso a partir de tantos valores diferentes.

TAO: Certo. A convergência pode levar algum tempo. Você sabe, definitivamente existem campos, por exemplo, onde eles parecem muito melhores medidos por uma métrica do que por outras. Tipo, talvez eles tenham muitos aplicativos, mas a apresentação deles é extremamente nojenta, você sabe.

(Strogatz ri)

Ou coisas que são muito elegantes, mas ainda não têm muitas aplicações boas no mundo real. Mas sinto que eventualmente convergirá.

STROGATZ: Bem, deixe-me perguntar sobre esse ponto de contato com o mundo real. É uma tensão interessante em matemática. E, você sabe, quando crianças, digamos, quando aprendemos geometria pela primeira vez, vocês podem pensar que os triângulos são reais, ou que os círculos ou linhas retas são reais, e que eles podem lhe contar sobre as formas retangulares que você vê. em edifícios em todo o mundo, ou que os topógrafos precisam usar geometria. E afinal, a palavra vem da medida da Terra, né, “geometria”. E assim, houve um tempo em que a geometria era empírica.

Mas o que eu queria perguntar tem a ver com um comentário que John von Neumann feito. Portanto, von Neumann, para quem não conhece, foi ele próprio um grande matemático. E ele fez este comentário neste ensaio: “O Matemático”, sobre a relação entre a matemática e o mundo empírico, o mundo real, onde ele diz grosso modo que as ideias matemáticas se originam no empírico, mas que em algum momento, uma vez que você obtém as ideias matemáticas, o sujeito começa a ganhar uma vida própria. ter. E então é mais como uma obra de arte criativa. Os critérios estéticos tornam-se importantes. Mas ele diz que isso causa perigo. Que quando um sujeito começa a se afastar muito de sua fonte empírica, especialmente em sua segunda ou terceira geração, ele diz que há uma chance de que o sujeito sofra de muita endogamia abstrata e corra o risco de degeneração.

Alguma ideia sobre isso? Quero dizer, a matemática precisa estar em contato com sua fonte empírica?

TAO: Sim, acho que tem que ser fundamentado. Quando digo que, empiricamente, todas estas diferentes formas de fazer matemática convergem, é apenas porque – isto só acontece quando o sujeito é saudável. Então, você sabe, a boa notícia é que geralmente é assim.

Mas, por exemplo, os matemáticos valorizam as provas curtas em detrimento das longas, sendo todas as outras coisas iguais. Mas pode-se imaginar as pessoas exagerando e, tipo, um subcampo da matemática obcecado em fazer demonstrações tão curtas quanto possível e ter essas provas extremamente opacas de duas linhas de teoremas profundos. E eles fazem uma espécie de competição, e então se torna uma espécie de jogo obscuro e então você perde toda a intuição. Você talvez perca uma compreensão mais profunda porque está obcecado em tornar todas as suas provas o mais curtas possível. Agora, isso realmente não acontece na prática. Mas isto é uma espécie de exemplo teórico, e penso que von Neumann estava a defender uma posição semelhante.

E nos anos sessenta e setenta, houve uma era da matemática em que a abstração estava fazendo grandes avanços na simplificação e unificação de muita matemática que antes era muito empírica. Especialmente em álgebra, as pessoas estavam percebendo, você sabe, números e polinômios e muitos outros objetos que antes eram tratados separadamente, todos vocês poderiam pensar neles como membros da mesma classe algébrica, neste caso um anel.

E muito progresso na matemática estava sendo feito ao encontrar a abstração correta, você sabe, seja um espaço topológico ou um espaço vetorial, seja o que for, e provar teoremas em grande generalidade. E isto é por vezes o que chamamos de era Bourbaki na matemática. E ficou um pouco longe demais de ser aterrado.

É claro que tivemos todo o episódio da Nova Matemática nos Estados Unidos, onde os educadores tentaram ensinar matemática no estilo Bourbaki e finalmente percebi que essa não era a pedagogia apropriada naquele nível.

Mas agora o pêndulo oscilou um pouco para trás. Nós meio que - o assunto amadureceu um pouco e todos os campos da matemática, geometria, topologia, seja o que for, temos formalizações satisfatórias e sabemos quais são as abstrações corretas. E agora o campo está novamente concentrado em interconexões e aplicações. Está se conectando muito mais ao mundo real agora.

Quero dizer, não apenas um tipo de física, que é uma conexão tradicional, mas, você sabe, ciência da computação, ciências da vida, ciências sociais, você sabe. Com a ascensão do big data, praticamente qualquer disciplina humana agora pode ser matematizada até certo ponto.

STROGATZ: Estou muito interessado na palavra que você usou há pouco sobre “interconexões”, porque parece ser um ponto central para discutirmos. É algo que você menciona em seu ensaio que, junto com estes, o que você chama de critérios “locais” sobre elegância, ou aplicações no mundo real, ou o que quer que seja, você menciona esse aspecto “global” da boa matemática: que a boa matemática se conecta a outros boa matemática.

Isso é quase fundamental para o que o torna bom: estar integrado com outras partes. Mas é interessante porque parece quase um raciocínio circular: que a boa matemática é a matemática que se conecta a outras boas matemáticas. Mas é uma ideia realmente poderosa, e só estou pensando se você poderia expandi-la um pouco mais.

TAO: Sim, então, quero dizer, do que se trata a matemática - uma das coisas que a matemática faz é fazer conexões que são muito básicas e fundamentais, mas não óbvias se você apenas olhar para ela do nível superficial. Um exemplo muito antigo disso é a invenção das coordenadas cartesianas por Descartes, que estabeleceu uma conexão fundamental entre a geometria – o estudo de pontos, linhas e objetos espaciais – e os números, a álgebra.

Assim, por exemplo, você pode considerar um círculo como um objeto geométrico, mas também pode considerá-lo como uma equação: x² + y² = 1 é a equação de um círculo. Na época, foi uma conexão muito revolucionária. Você sabe, os antigos gregos viam a teoria dos números e a geometria como assuntos quase completamente desconexos.

Mas com Descartes havia esta ligação fundamental. E agora está internalizado; você sabe, a maneira como ensinamos matemática. Não é mais surpreendente que, se você tem um problema geométrico, você o ataque com números. Ou se você tiver problemas com números, poderá atacá-los com geometria.

De certa forma, é porque tanto a geometria quanto os números são aspectos do mesmo conceito matemático. Temos todo um campo chamado geometria algébrica, que não é álgebra nem geometria, mas é um assunto unificado que estuda objetos que você pode considerar como formas geométricas, como linhas e círculos e assim por diante, ou como equações.

Mas, na verdade, é uma união holística dos dois que estudamos. E à medida que o assunto se aprofundou, percebemos que isso é, de alguma forma, mais fundamental do que a álgebra ou a geometria separadamente, em alguns aspectos. Portanto, estas ligações estão a ajudar-nos a descobrir uma espécie de matemática real que inicialmente, de alguma forma, os nossos estudos empíricos apenas nos dão uma parte do assunto.

Tem essa famosa parábola do elefante, esqueci onde, que se tiver... São quatro cegos, e eles descobrem um elefante. E um deles sente a perna do elefante e pensa: “Oh, isso, é muito difícil. Deve ser como uma árvore ou algo assim.”

E um deles apalpa a tromba, e só muito mais tarde é que vêem que há um único objeto elefante que explica todas as suas hipóteses separadas. Sim, então estamos todos cegos inicialmente, você sabe. Estamos apenas observando as sombras na caverna de Platão e só mais tarde percebemos –

STROGATZ: Nossa, você é muito filosófico aqui. Isto é algo. Não posso resistir agora: se você vai começar a falar sobre o elefante e os cegos, isso sugere que você acha que a matemática está por aí - que é algo como o elefante e que nós somos os cegos... Ou você sabe, estamos tentando ver algo que existe independente dos seres humanos. É realmente nisso que você acredita?

TAO: Quando você faz boa matemática, não se trata apenas de espalhar símbolos. Você sente que há algum objeto real que você está tentando entender, e todas as nossas equações que temos são apenas aproximações disso, ou sombras.

Você pode debater a questão filosófica do que é realmente a realidade e assim por diante. Quero dizer, essas são coisas que você pode realmente tocar, e quanto mais reais as coisas se tornam matematicamente, às vezes menos físicas elas parecem. Como você disse, a geometria inicialmente, você sabe, era uma coisa muito tangível sobre objetos no espaço físico que você poderia - você sabe, você pode realmente construir um círculo e um quadrado e assim por diante.

Mas na geometria moderna, você sabe, trabalhamos em dimensões superiores. Podemos falar sobre geometrias discretas, todos os tipos de topologias malucas. E, quero dizer, o assunto ainda merece ser chamado de geometria, mesmo que não haja mais nenhuma Terra sendo medida. A etimologia do grego antigo está muito desatualizada, mas está, mas definitivamente há algo ali. Se - quão real você deseja chamar isso. Mas acho que a questão é que, para realmente fazer matemática, ajuda acreditar que é real.

STROGATZ: Sim, isso não é interessante? Isso acontece. Parece que isso é algo muito profundo na história da matemática. Fiquei impressionado com um ensaio de Arquimedes escrevendo para seu amigo, ou pelo menos colega, Eratóstenes.

Estamos falando agora, tipo, 250 a.C. E ele faz a observação, ele descobriu uma maneira de encontrar a área do que chamaríamos de segmento de uma parábola. Ele está pegando uma parábola, corta-a com um segmento de reta que forma um ângulo oblíquo em relação ao eixo da parábola e calcula essa área. Ele consegue um resultado muito bonito. Mas ele diz algo a Eratóstenes como: “Esses resultados sempre foram inerentes aos números”. Você sabe, tipo, eles estão lá. Estão lá. Eles estão apenas esperando que ele encontre.

Não é como se ele os tivesse criado. Não é como poesia. Quero dizer, é interessante, na verdade, não é? Que muitos grandes artistas - Michelangelo falou em libertar a estátua da pedra, sabe, como se ela estivesse lá para começar. E parece que você e muitos outros grandes matemáticos fizeram isso - como você diz, é muito útil acreditar nesta ideia, que ela está lá esperando por nós, esperando que as mentes certas a descubram.

TAO: Certo. Bem, acho que uma manifestação disso é que ideias que muitas vezes são muito complicadas de explicar quando são descobertas pela primeira vez, ficam simplificadas. Quero dizer, você sabe, muitas vezes a razão pela qual algo parece muito profundo ou difícil no início é que você não tem a notação correta.

Por exemplo, agora temos notação decimal para manipular números, e isso é muito conveniente. Mas no passado, tínhamos, você sabe, algarismos romanos e depois havia sistemas numéricos ainda mais primitivos que eram muito, muito difíceis de trabalhar se você quisesse fazer matemática.

Euclides elementos, você sabe – alguns dos argumentos nesses textos antigos. Tipo, há um teorema no de Euclides elementos Acho que é chamada de Ponte dos Tolos ou algo assim. É como a afirmação de que acho que a afirmação é como um triângulo isósceles, os dois ângulos da base são iguais. Tipo, isso é como uma prova de duas linhas em textos geométricos modernos, você sabe, com os axiomas corretos. Mas Euclides tinha uma maneira horrível de fazer isso. E foi aí que muitos estudantes de geometria da era clássica desistiram completamente da matemática.

STROGATZ: Verdadeiro. (ri)

TAO: Mas, você sabe, agora temos uma maneira muito melhor de fazer isso. Freqüentemente, as complicações que vemos na matemática são artefatos de nossas próprias limitações. E então, à medida que amadurecemos, você sabe, as coisas ficam mais simples. E parece mais real por causa disso. Não estamos vendo os artefatos. Estamos vendo a essência.

STROGATZ: Bem, voltando ao seu ensaio: quando você o escreveu, na época - quero dizer, isso foi bem no início da sua carreira, não no começo, mas ainda assim. Por que você sentiu naquela época que era importante tentar definir o que era boa matemática?

TAO: Eu acho... Então, a essa altura, eu já estava começando a aconselhar alunos de pós-graduação, e estava percebendo que, sabe, havia alguns equívocos sobre, mais ou menos, o que é bom e o que não é. E eu também estava conversando com matemáticos de diferentes áreas, e o que cada área valorizava na matemática parecia diferente das outras. Mas, ainda assim, de alguma forma estávamos todos estudando o mesmo assunto.

E às vezes alguém dizia algo que me incomodava, você sabe, como: “Esta matemática não tem aplicações, portanto não tem valor”. Ou “Esta prova é muito complicada; portanto, não tem valor”, ou algo assim. Ou, inversamente, você sabe: “Esta prova é muito simples; portanto não vale a pena…” Você sabe. Tipo, havia algum tipo de esnobismo e assim por diante, às vezes eu encontrava.

E, na minha experiência, a melhor matemática surgiu quando compreendi um ponto de vista diferente, uma forma diferente de pensar a matemática de alguém numa área diferente e de a aplicar a um problema que me interessava. E assim a minha experiência de como usar a matemática adequadamente, como manejá-la, foi tão diferente destas – uma espécie de “única maneira verdadeira de fazer matemática”.

Eu senti que esse ponto precisava ser abordado de alguma forma. Que existe realmente uma forma plural de fazer matemática, mas que a matemática ainda está unida.

STROGATZ: Isso é muito revelador, porque eu me perguntei, você sabe, na minha introdução eu mencionei os muitos ramos diferentes da matemática que você explorou, e nem incluí alguns. Tipo, lembro-me, há apenas alguns anos, do seu trabalho sobre este mistério na dinâmica dos fluidos, sobre se certas equações que pensamos fazem um bom trabalho na aproximação dos movimentos da água e do ar. Não quero entrar em muitos detalhes, mas apenas para dizer, aqui está, as pessoas pensam em você fazendo teoria dos números ou análise harmônica, e de repente você está trabalhando em questões de dinâmica de fluidos. Quero dizer, percebo que são equações diferenciais parciais. Mesmo assim, sua amplitude de interesse parece estar relacionada à sua capacidade de aceitar diferentes insights, diferentes ideias valiosas de todas as diferentes maneiras de fazer boas contas.

TAO: Esqueci quem disse isso, mas existem dois tipos de matemáticos. Há ouriços e raposas. Raposa é alguém que sabe um pouco de tudo. Um ouriço é uma criatura que sabe uma coisa muito, muito bem. E nenhum é melhor que o outro. Eles se complementam. Quero dizer, em matemática, você precisa de pessoas que sejam realmente especialistas profundos em um subcampo e que conheçam o assunto de dentro para fora. E você precisa de pessoas que consigam ver as conexões entre um campo e outro. Definitivamente me identifico como uma raposa, mas trabalho com muitos ouriços. O trabalho do qual mais me orgulho é muitas vezes uma colaboração como essa.

STROGATZ: Oh sim. Eles percebem que são ouriços?

TAO: Bem, ok, os papéis mudam com o tempo. Tipo, há outras colaborações em que eu sou o ouriço e outra pessoa é a raposa. Isso não é permanente - você sabe, não está no seu DNA.

STROGATZ: Ah, bom ponto. Podemos adotar – podemos usar as duas capas.

Bem, e se houve uma resposta ao ensaio na época? As pessoas responderam alguma coisa para você?

TAO: Obtive uma resposta bastante positiva em geral. Quero dizer, o Boletim da AMS não é uma publicação de grande circulação, eu acho. E também, eu realmente não disse nada muito controverso. Além disso, esse tipo de mídia social é anterior, então acho que talvez alguns blogs de matemática tenham percebido isso, mas não havia Twitter. Não havia nada para torná-lo viral.

Sim, também acho que, em geral, os matemáticos não gastam muito do seu tempo e capital intelectual em especulação. Quero dizer, há outro matemático chamado Minhyong Kim que tinha uma bela metáfora de que, para os matemáticos, a credibilidade é como moeda, como dinheiro. Se você provar teoremas e demonstrar que conhece o assunto, você está acumulando de alguma forma essa moeda de credibilidade no banco. E uma vez que você tenha dinheiro suficiente, você pode especular um pouco, sendo um pouco filosófico e dizendo o que pode ser verdade, em vez do que você realmente pode provar.

Mas tendemos a ser conservadores e não queremos descoberto na nossa conta bancária. Você sabe, você não quer que a maior parte de seus escritos seja especulativa e apenas um por cento para realmente provar algo.

STROGATZ: Justo. Então, tudo bem. Então, muitos anos se passaram desde então. Sobre o que estamos conversando? São mais de 15 anos.

TAO: Ah sim, o tempo voa.

STROGATZ: Sua opinião mudou? Há algo que precisamos revisar?

TAO: Bem, a cultura da matemática está mudando bastante. Eu já tinha uma visão ampla da matemática e agora tenho uma ainda mais ampla.

Portanto, um exemplo muito concreto é: as provas assistidas por computador ainda eram controversas em 2007. Houve uma conjectura famosa chamada conjectura de Kepler, que diz respeito à maneira mais eficiente de empacotar bolas unitárias no espaço tridimensional. E há um empacotamento padrão, acho que é chamado de empacotamento central cúbico ou algo assim, que Kepler conjecturou ser o melhor possível.

Isto foi finalmente resolvido, mas o a prova foi muito assistida por computador. Foi bastante complicado e [Thomas] Haleseventualmente criou toda uma linguagem de computador para verificar formalmente esta prova específica, mas ela não foi aceita como uma prova real por muitos anos. Mas ilustrou o quão controverso era o conceito de uma prova que precisava de assistência informática para verificar.

Nos anos seguintes, houve muitos, muitos outros exemplos de provas em que um ser humano pode reduzir um problema complicado a algo que ainda requer um computador para verificar. E então o computador segue em frente e verifica. Nós meio que desenvolvemos práticas sobre como fazer isso de forma responsável. Você sabe como publicar código e dados e maneiras de verificar novas coisas de código aberto e assim por diante. E agora há uma aceitação generalizada de provas assistidas por computador.

Agora, penso eu, a próxima mudança cultural será se as provas geradas por IA serão aceitas. No momento, as ferramentas de IA não estão no nível em que possam gerar provas para realmente avançar nos problemas matemáticos. Talvez as tarefas de casa de nível de graduação possam ser resolvidas, mas a pesquisa em matemática ainda não está nesse nível. Mas em algum momento, começaremos a ver artigos assistidos por IA e haverá um debate.

A forma como a nossa cultura mudou em alguns aspectos… Em 2007, apenas uma fração dos matemáticos disponibilizava os seus preprints antes da publicação. Os autores guardariam zelosamente seus preprints até receberem a notificação de aceitação da revista. E então eles podem compartilhar.

Mas agora todo mundo coloca seus papéis servidores públicos como o arXiv. Há muito mais abertura para colocar vídeos e posts em blogs, sobre de onde vêm as ideias de um artigo. Porque as pessoas percebem que é isso que torna o trabalho mais influente e impactante. Se você tentar não divulgar seu trabalho e ser muito reservado sobre ele, isso não causará impacto.

A matemática tornou-se muito mais colaborativo. Você sabe, há 50 anos, eu diria que a maioria dos artigos em matemática eram de autoria única. Agora, definitivamente a maioria são dois, três ou quatro autores. E estamos apenas começando a ver projetos realmente grandes como fazemos nas ciências, você sabe, dezenas, centenas de pessoas colaboram. Isso ainda é difícil para os matemáticos fazerem, mas acho que vamos chegar lá.

Ao mesmo tempo, estamos nos tornando muito mais interdisciplinares. Estamos trabalhando muito mais com outras ciências. Estamos trabalhando entre campos da matemática. E por causa da Internet, podemos colaborar com pessoas de todo o mundo. Portanto, a forma como fazemos matemática está definitivamente mudando.

Espero que no futuro possamos utilizar mais a comunidade matemática amadora. Existem outros campos como a astronomia, onde os astrônomos fazem grande uso da comunidade astronômica amadora, como, você sabe, muitos cometas, por exemplo, são encontrados por amadores.

Mas os matemáticos... Existem algumas áreas isoladas da matemática, como ladrilhos, ladrilhos bidimensionais e talvez encontrar registros em números primos. Existem alguns campos muito selecionados da matemática onde os amadores contribuem, e eles são bem-vindos. Mas há muitas barreiras. Na maioria das áreas da matemática, você precisa de tanto treinamento e sabedoria internalizada ou convencional que não podemos aglomerar as coisas. Mas isso pode mudar no futuro. Talvez um impacto da IA ​​fosse permitir que matemáticos amadores contribuíssem significativamente para a matemática.

STROGATZ: Isso é muito interessante.

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STROGATZ: Então os amadores podem, com a ajuda das IAs, fazer novas perguntas que sejam boas ou ajudar com boas explorações de questões existentes, esse tipo de coisa?

TAO: Existem muitas modalidades diferentes – sim. Assim, por exemplo, existem agora projetos para formalizar provas de grandes teoremas nestas coisas chamadas assistentes de prova formal, que são como linguagens de computador que podem verificar 100% se um teorema é verdadeiro ou não e - está provado ou não. Na verdade, isso permite a colaboração em larga escala em matemática.

Então, no passado, se você colaborasse com outras 10 pessoas para provar um teorema, e cada uma contribuísse com um passo, todos teriam que verificar a matemática de todos os outros. Porque o problema da matemática é que, se uma etapa apresentar um erro, tudo pode desmoronar.

Então você precisa de confiança, e então - portanto, isso impede, isso realmente inibe colaborações realmente em grande escala em matemática. Mas agora existem exemplos bem-sucedidos de teoremas realmente grandes sendo formalizados onde há uma comunidade enorme, nem todos se conhecem, nem todos confiam uns nos outros, mas se comunicam através do upload para algum repositório do Github ou algo como provas individuais de etapas individuais do argumento. E o software de prova formal verifica tudo e você não precisa se preocupar com confiança. Portanto, estamos possibilitando novos modos de colaboração, que não víamos realmente no passado.

STROGATZ: É realmente interessante ouvir sua visão, Terry. É um pensamento fascinante. Você não ouve a frase “matemático cidadão”. Você ouve falar de ciência cidadã, mas por que não matemática cidadã?

Mas estou apenas pensando: há alguma tendência que o preocupe, por exemplo, com provas assistidas por computador ou provas geradas por IA? Saberemos que certos resultados são verdadeiros, mas não entenderemos por quê?

TAO: Então isso é um problema. Quero dizer, já é um problema mesmo antes do advento da IA. Então, há muitos campos onde os artigos de um assunto estão ficando cada vez mais longos, centenas de páginas. E tenho esperança de que a IA possa, ao contrário, ajudar a simplificar e explicar e provar.

Então já existe software experimental onde, se você pegar uma prova que foi formalizada, você pode realmente convertê-la em um documento interativo legível por humanos, onde você tem a prova e vê as etapas de alto nível e se há uma frase você não entende, pode clicar duas vezes nele e ele se expandirá em etapas menores. Em breve, acho que você também poderá ter um chatbot de IA sentado ao seu lado enquanto você analisa a prova, e eles podem responder a perguntas e explicar cada etapa como se fossem o autor. Acho que já estamos muito perto disso.

Existem preocupações. Temos que mudar a forma como educamos os nossos alunos, especialmente agora que muitas das nossas formas tradicionais de atribuir trabalhos de casa e assim por diante, estamos quase no ponto em que estas ferramentas de IA podem responder instantaneamente a muitas das nossas perguntas padrão dos exames. E, portanto, precisamos ensinar novas habilidades aos nossos alunos, como verificar se um resultado gerado pela IA está correto ou não e como obter uma segunda opinião.

E podemos ver o advento de um lado mais experimental da matemática, você sabe. Assim, a matemática é quase inteiramente teórica, enquanto a maioria das ciências tem uma componente teórica e experimental. Poderemos eventualmente ter resultados que primeiro só são comprovados por computadores e, como você diz, não entendemos. Mas então, uma vez que tenhamos os dados que a IA, as provas geradas por computador, fornecem, poderemos realizar experimentos.

Há um pouco de matemática experimental agora. As pessoas estudam grandes conjuntos de dados de várias coisas, curvas elípticas, digamos. Mas poderá tornar-se muito maior no futuro.

STROGATZ: Nossa, você tem uma visão muito otimista, parece-me. Não é como se a Idade de Ouro estivesse no passado. Se estou ouvindo bem, você acha que há muitas coisas interessantes pela frente.

TAO: Sim, muitas das novas ferramentas tecnológicas são muito fortalecedoras. Quero dizer, a IA em geral tem muitos altos e baixos complexos. E fora das ciências, há muitas possíveis perturbações na economia, nos direitos de propriedade intelectual e assim por diante. Mas em matemática, acho que a proporção entre o bom e o ruim é melhor do que em muitas outras áreas.

E, você sabe, a internet realmente transformou a forma como fazemos matemática. Colaboro com muitas pessoas em diversas áreas. Eu não poderia fazer isso sem a internet. O fato de que eu posso acessar a Wikipedia ou qualquer outra coisa e começar a aprender um assunto, e posso enviar um e-mail para alguém, e podemos colaborar online. Se eu tivesse que fazer coisas à moda antiga, onde só pudesse falar com as pessoas do meu departamento e usar o correio físico para todo o resto, não conseguiria fazer as contas que faço agora.

STROGATZ: Uau, tudo bem. Só preciso sublinhar o que você acabou de dizer, porque nunca pensei, em um milhão de anos, que ouviria isso: Terry Tao lê Wikipedia para aprender matemática?

TAO: Como ponto de partida. Quer dizer, nem sempre é a Wikipédia, mas apenas para obter as palavras-chave, e então farei uma pesquisa mais especializada, digamos, MatemáticaCiNet ou algum outro banco de dados. Mas sim.

STROGATZ: Não é uma crítica. Quer dizer, eu faço a mesma coisa. A Wikipédia é, na verdade, se há alguma crítica à matemática na Wikipédia, talvez seja porque às vezes ela é um pouco avançada demais para os leitores a que se destina, eu acho. Nem sempre. Quer dizer, depende. Varia muito de artigo para artigo. Mas isso é engraçado. Adoro ouvir isso.

TAO: Quero dizer, com essas ferramentas, você precisa ser capaz de examinar o resultado. Você sabe, então, quero dizer, a razão pela qual posso usar a Wikipédia para fazer matemática é porque já conheço matemática suficiente para poder cheirar se um pedaço da Wikipédia em matemática é suspeito ou não. Você sabe, pode obter algumas fontes e uma delas será uma fonte melhor que a outra. E conheço os autores e tenho uma ideia de qual referência será melhor para mim. Se eu usasse a Wikipedia para aprender sobre um assunto no qual não tenho experiência, acho que seria mais uma variável aleatória.

STROGATZ: Bem, temos conversado bastante sobre o que torna a boa matemática, o futuro possível para novos tipos de boa matemática. Mas talvez devêssemos abordar a questão: por que isso importa? Por que é importante que a matemática seja boa?

TAO: Bem, então, em primeiro lugar, quero dizer, por que temos matemáticos? Por que a sociedade valoriza os matemáticos e nos dá os recursos para fazer o que fazemos? Você sabe, é porque fornecemos algum valor. Podemos ter aplicações para o mundo real. Há interesse intelectual, e algumas das teorias que desenvolvemos acabam por fornecer insights sobre outros fenômenos.

E nem toda matemática tem o mesmo valor. Quero dizer, você poderia calcular mais e mais dígitos de pi, mas em algum momento você não aprende nada. Qualquer assunto precisa de algum tipo de julgamento de valor porque é preciso alocar recursos. Há tanta matemática por aí. Que avanços você deseja destacar, divulgar e divulgar para outras pessoas, e quais talvez devessem ficar quietos em um diário em algum lugar?

Mesmo que você pense que um assunto é completamente objetivo e, você sabe, só existe verdadeiro ou falso, ainda temos que fazer escolhas. Você sabe, só porque o tempo é um recurso limitado. A atenção é um recurso limitado. O dinheiro é um recurso limitado. Então, essas são sempre questões importantes.

STROGATZ: Bem, é interessante que você fale sobre divulgação, porque é algo que eu acho que é um diferencial do seu trabalho, que você também se esforçou muito para tornar a matemática acessível ao público através do seu blog, através de vários artigos que você ' eu escrevi. Lembro-me de discutir um que você escreveu em Cientista americano sobre universalidade e essa ideia. Por que é importante tornar a matemática publicamente acessível e compreensível? Quero dizer, o que você está tentando fazer?

TAO: Isso meio que aconteceu organicamente. No início da minha carreira, a World Wide Web ainda era muito nova, e os matemáticos começaram a ter páginas web com vários conteúdos, mas não havia um diretório central. Antes do Google e assim por diante, era realmente difícil encontrar recursos individuais.

Então, comecei a fazer pequenos diretórios na minha página. E eu também criaria páginas para meus próprios artigos e faria alguns comentários. Inicialmente era mais para meu próprio benefício, apenas como uma ferramenta organizacional, apenas para me ajudar a encontrar coisas. Como subproduto, estava disponível ao público, mas eu era uma espécie de consumidor primário, ou pelo menos assim pensei, das minhas próprias páginas da web.

Mas lembro-me claramente, houve uma vez em que escrevi um artigo e coloquei-o na minha página web, e tinha uma pequena subpágina chamada “O que há de novo?” E eu apenas disse: “Aqui está um documento. Há uma pergunta que ainda não consegui responder e não sei como resolvê-la.” E acabei de fazer este comentário. E então, dois dias depois, recebi um e-mail dizendo: “Ah, estava verificando sua página inicial. Eu sei a resposta para isso. Existe um artigo que resolverá o seu problema.

E isso me fez perceber, em primeiro lugar, que as pessoas estavam realmente visitando minha página, o que eu realmente não sabia. Mas essa interação com a comunidade poderia realmente... bem, poderia me ajudar a resolver minhas dúvidas diretamente.

Existe uma lei chamada Lei de Metcalfe em redes isso, você sabe, se você tiver n pessoas, e todos eles conversam entre si, há cerca de n² conexões entre eles. E assim, quanto maior o público e maior o fórum onde todos podem conversar com todos, mais conexões potenciais você pode fazer e mais coisas boas podem acontecer.

Quero dizer, na minha carreira, muitas das descobertas que fiz, ou das conexões que fiz, se devem a uma conexão inesperada. Toda a minha experiência profissional tem sido: mais conexões equivalem a coisas melhores acontecendo.

STROGATZ: Acho que um belo exemplo do que você está se referindo, mas adoraria ouvir você falar sobre isso, são as conexões que você fez com pessoas da ciência de dados que estão interessadas em questões relacionadas à ressonância magnética médica , ressonância magnética. Você poderia nos contar um pouco sobre essa história?

TAO: Então, isso foi por volta de 2006, 2005, eu acho. Então, havia um programa interdisciplinar aqui no campus da UCLA sobre, eu acho, análise geométrica multiescala, ou algo parecido, onde eles estavam reunindo matemáticos puros que estavam interessados ​​em uma espécie de geometria multiescala por direito próprio, e então, você sabe, pessoas que tiveram problemas muito concretos com tipos de dados.

E eu tinha acabado de começar a trabalhar em alguns problemas de teoria de matrizes aleatórias, então eu era conhecido como alguém que conseguia manipular matrizes. E conheci alguém que já conhecia, Emmanuel Candés, porque na época ele trabalhava ao lado na Caltech. E ele e outro colaborador, Justin Romberg, eles descobriram esse fenômeno incomum.

Então eles estavam olhando imagens de ressonância magnética, mas são muito lentas. Para coletar imagens de alta resolução suficientes de um corpo humano, ou o suficiente para talvez detectar um tumor, ou qualquer característica clinicamente importante que você deseja encontrar, geralmente leva vários minutos porque eles precisam escanear todos esses ângulos diferentes e então sintetizar os dados . E isso era um problema, na verdade, porque crianças pequenas, por exemplo, ficarem quietas por três minutos na máquina de ressonância magnética era bastante problemático.

Então eles estavam experimentando uma maneira diferente, usando um pouco de álgebra linear. Eles esperavam obter uma melhoria de desempenho de 10%, 20% melhor. Você sabe, uma imagem um pouco mais nítida ajustando um pouco o algoritmo padrão.

Portanto, o algoritmo padrão era chamado de aproximação de mínimos quadrados, e eles estavam fazendo outra coisa, chamada de minimização da variação total. Mas então, quando executaram o software do computador, obtiveram uma reconstrução quase perfeita da imagem de teste. Melhoria enorme, massiva. E eles não conseguiam explicar isso.

Mas Emmanuel estava nesse programa e estávamos conversando durante o chá ou algo assim. E ele acabou de mencionar isso e, na verdade, meu primeiro pensamento foi que você deve ter cometido um erro no seu cálculo, que o que você está dizendo não é realmente possível. E lembro-me de voltar para casa naquela noite e tentar escrever uma prova real de que o que eles estavam vendo não poderia realmente acontecer. E então, no meio do caminho, percebi que tinha feito uma suposição que não era verdade. E então percebi que realmente poderia funcionar. E então descobri qual poderia ser a explicação. E então trabalhamos juntos e encontramos uma boa explicação e a publicamos.

E uma vez que fizemos isso, as pessoas perceberam que havia muitas outras situações em que era necessário fazer uma medição que normalmente exigia muitos e muitos dados e, em alguns casos, você pode pegar uma quantidade muito menor de dados e ainda assim obter uma quantidade realmente alta. medição de resolução.

Então agora, máquinas modernas de ressonância magnética, por exemplo - uma varredura que costumava levar três minutos agora pode levar 30 segundos porque este software, este algoritmo está conectado, codificado nas máquinas agora.

STROGATZ: É uma linda história, é uma ótima história. Quero dizer, falar sobre matemática importante que está mudando vidas, literalmente, neste contexto de imagens médicas. Adoro o acaso e a sua mente aberta, você sabe, para ouvir essa ideia e depois pensar, bem, “isso é impossível, posso provar”. E então percebendo, não, na verdade. Fantástico ver a matemática causando tanto impacto.

Bem, ok, acho melhor deixar você ir, Terry. Foi um verdadeiro prazer discutir com você a essência da boa matemática. Muito obrigado por se juntar a nós hoje.

TAO: Sim, não, foi um prazer. 

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STROGATZ: “The Joy of Why” é um podcast de Revista Quanta, uma publicação editorialmente independente apoiada pela Simons Foundation. As decisões de financiamento da Fundação Simons não têm influência na seleção de tópicos, convidados ou outras decisões editoriais neste podcast ou em Revista Quanta.

“A alegria do porquê” é produzido por PRX Produções. A equipe de produção é composta por Caitlin Faulds, Livia Brock, Genevieve Sponsler e Merritt Jacob. A produtora executiva da PRX Productions é Jocelyn Gonzales. Morgan Church e Edwin Ochoa forneceram assistência adicional. De Revista Quanta, John Rennie e Thomas Lin forneceram orientação editorial, com o apoio de Matt Carlstrom, Samuel Velasco, Nona Griffin, Arleen Santana e Madison Goldberg.

Nossa música tema é da APM Music. Julian Lin criou o nome do podcast. A arte do episódio é de Peter Greenwood e nosso logotipo é de Jaki King e Kristina Armitage. Agradecimentos especiais à Columbia Journalism School e a Burt Odom-Reed do Cornell Broadcast Studios.

Sou seu anfitrião, Steve Strogatz. Se você tiver alguma dúvida ou comentário para nós, envie um email para [email protegido]. Obrigado por ouvir.