1Instituto de Física Teórica, Universidade de Innsbruck, Technikerstr. 21A, 6020 Innsbruck, Áustria
2Departamento de Física, QAA, Universidade Técnica de Munique, James-Franck-Str. 1, D-85748 Garching, Alemanha
3Endereço atual: Atominstitut, Technische Universität Wien, Stadionallee 2, 1020 Viena, Áustria
4Departamento de Matemática, Universidade Carlos III de Madrid, Avda. de la Universidad 30, E-28911, Leganés (Madri), Espanha
5Instituto de Ciências Matemáticas (ICMAT), E-28049 Madrid, Espanha
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Sumário
O estudo das transformações de estado por partes separadas espacialmente com operações locais assistidas por comunicação clássica (LOCC) desempenha um papel crucial na teoria do emaranhamento e suas aplicações no processamento quântico de informações. Transformações deste tipo entre estados bipartidos puros foram caracterizadas há muito tempo e possuem uma estrutura teórica reveladora. No entanto, verifica-se que estados multipartidos puros totalmente emaranhados genéricos não podem ser obtidos nem transformados em qualquer estado totalmente emaranhado inequivalente sob LOCC. Os estados com esta propriedade são chamados de isolados. No entanto, os estados multipartidos são classificados em famílias, as chamadas classes SLOCC, que possuem propriedades muito diferentes. Assim, o resultado acima não proíbe a existência de classes particulares de SLOCC que sejam livres de isolamento e, portanto, apresentem uma estrutura rica em relação à conversibilidade do LOCC. Na verdade, sabe-se que os célebres estados $n$-qubit GHZ e W dão exemplos particulares de tais classes e neste trabalho investigamos esta questão em geral. Um dos nossos principais resultados é mostrar que a classe SLOCC do estado 3-qutrit totalmente antissimétrico também é livre de isolamento. Na verdade, todos os estados desta classe podem ser convertidos em estados não equivalentes pelos protocolos LOCC com apenas uma rodada de comunicação clássica (como nos casos GHZ e W). Assim, consideramos a seguir se existem outras classes com esta propriedade e encontramos um grande conjunto de respostas negativas. Na verdade, provamos um isolamento fraco (isto é, estados que não podem ser obtidos com LOCC de rodada finita nem transformados por LOCC de rodada única) para classes muito gerais, incluindo todas as famílias SLOCC com estabilizadores compactos e muitas com estabilizadores não compactos, como o classes correspondentes aos estados $n$-qunit totalmente antissimétricos para $ngeq4$. Finalmente, dada a característica agradável encontrada na família correspondente ao estado 3-qutrit totalmente antissimétrico, exploramos mais detalhadamente a estrutura induzida por LOCC e as propriedades de emaranhamento dentro desta classe.
Imagem em destaque: Estados com isolamento fraco, que é um conceito importante que aparece neste estudo, são estados que não podem ser transformados de qualquer outro estado não equivalente local-unitário (LU) com qualquer protocolo LOCC de rodada finita, nem convertidos para qualquer outro LU- estado desigual com qualquer protocolo LOCC de rodada única.
Resumo popular
Até agora, apenas duas classes de estados [as classes LOCC estocásticas (SLOCC) dos estados GHZ e W] demonstraram não conter estados isolados (livres de isolamento). Aqui, descobrimos uma nova classe livre de isolamento, contendo o estado 3-qutrit totalmente antissimétrico, que acaba por ter algumas propriedades de emaranhamento fascinantes. Além disso, encontramos evidências de que muitas outras classes de estados puros totalmente emaranhados contêm estados isolados.
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[13] Observe que a Ref. 4qubitSLOCC fornece 9 famílias de estados de 4 qubits, mas algumas dessas famílias são coleções de um número infinito de classes SLOCC inequivalentes (veja também, por exemplo, Capítulo 14 no Ref. GourBook).
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[39] Observe que os exemplos de conversões que não podem ser alcançadas concatenando protocolos de uma rodada não provam isso. Isso ocorre porque o estado de saída não é automaticamente isolado de maneira fraca (deve ser acessível por rodada finita) e o estado de entrada pode ser conversível em uma rodada para um estado diferente.
[40] J. Eisert e HJ Briegel, Phys. Rev. A 64, 022306 (2001).
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[41] Isso ocorre porque qualquer matriz $bigotimes_{j=1}^n X^{(j)}em bigotimes_{i=1}^n GL(d_i,mathbb{C})$ é igual ao produto tensorial entre $frac{ X^{(j)}}{det(X^{(j)})^{1/d_j}}em SL(d_j,mathbb{C})$ para quaisquer índices $n-1$ $j$ e $prod_{jneq k}det(X^{(j)})^{1/d_j} X^{(k)}$ para o índice restante $k$.
LOCCRef1″>[42] CH Bennett, DP DiVincenzo, CA Fuchs, T. Mor, E. Rains, PW Shor, JA Smolin e WK Wootters, Phys. Rev. A 59, 1070 (1999).
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[43] MJ Donald, M. Horodecki e O. Rudolph, J. Math. Física. 43, 4252 (2002).
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[45] E. Chitambar, D. Leung, L. Mančinska, M. Ozols e A. Winter, Commun. Matemática. Física. 328, 303 (2014) e referências neles contidas.
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[46] Dizemos que uma matriz $X$ quase comuta com outra matriz $A$ se e somente se $X^dagger AX= kApropto A$ para algum $kinmathbb{C}$.
[47] F. Verstraete, J. Dehaene e B. De Moor, Phys. Rev. A 65, 032308 (2002).
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[48] Mais precisamente, $P$ pode ser escolhido como $P=|vranglelangle v|+{1}$, onde $|vrangle inmathbb{C}^d$ não é um autovetor de qualquer $U_iinmathcal{F}$. Tal vetor sempre existe, pois nenhum espaço vetorial de dimensão finita sobre $mathbb{C}$ é uma união finita de subespaços próprios (ver, por exemplo, Ref. VecSpaceNOTfiniteUnion).
[49] A. Khare, Álgebra Linear e suas Aplicações 431(9), 1681-1686 (2009).
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[50] Isso pode ser facilmente visto a seguir. Primeiro, devido à simetria do estado, é fácil ver que qualquer estado na classe SLOCC é LU equivalente a $sqrt{G_1}otimessqrt{D_2}otimes {1}|A_3rangle $ [ver Eq. (29)] onde $G_1>0$ e $D_2=diag(alpha_2,beta_2,1) >0$. Além disso, usando a simetria $U^{otimes3}$ de $|A_3rangle $, onde $U=diag(e^{itheta},e^{ivarphi},e^{-i(theta+varphi)})$ com $theta=-frac{arg(gamma_1)+arg(delta_1)}{3}$, $varphi=frac{2arg(gamma_1)-arg(delta_1)}{3}$, $gamma_1=(G_1)_{12 }$ e $delta_1=(G_1)_{13}$, leva a um estado da mesma forma acima, mas com $G_1$ substituído por $U G_1 U^dagger$, cujas entradas $(1,2)$ e $(1,3)$ são maiores ou iguais a zero. Assim, os estados são (até LU) parametrizados por 8 parâmetros.
[51] JI de Vicente, T. Carle, C. Streitberger e B. Kraus, Phys. Rev. 108, 060501 (2012).
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[53] Observe que trocamos a ordem de $alpha_2$ e $beta_1$ aqui em oposição à notação que usamos na Observação 11 para denotar os estados em $M_{A_3}$.
[54] F. Bernards e O. Gühne, J. Math. Física. 65, 012201 (2024).
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[55] O argumento que usamos aqui para mostrar que $Botimes B^{-1}otimes {1}^{otimes n-2}inmathcal{S}_{|A_nrangle }$ é o mesmo argumento usado na Ref. MigdalSymm (Seção II) para provar que estados simétricos de permutação têm simetrias da forma $Botimes B^{-1}otimes {1}^{otimes n-2}$.
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[57] Ver p.8 da Ref. ZariskiClosed pelo fato de que o fechamento de Zariski em $mathbb{C}^d$ implica fechamento euclidiano em $mathbb{C}^d$.
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[60] É fácil ver que o teorema de Bolzano-Weierstrass também se aplica a sequências limitadas em $mathbb{C}^d$ vendo-as como sequências em $mathbb{R}^{2d}$.
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[62] O estado considerado pode então ser LU equivalente ao estado inicial.
[63] Observe que se existe uma condição de consistência com $x_1^{(lambda)}=0$ e $x_2^{(lambda)}neq0$ enquanto $theta$ é um múltiplo irracional de $pi$, então o sistema de equações é inconsistente.
[64] Obtemos a Eq. (20) multiplicando primeiro cada equação em $mathbf{B}vec{alpha'}=vec{varphi'}+vec{theta}$ por um fator $zinmathbb{C}$ em ambos os lados, e então exponenciando ambos os lados de cada equação.
=5″>[65] Embora a existência de isolamento fraco tenha sido comprovada para $(ngeq5)$-qudit classes SLOCC de estados não excepcionalmente simétricos (não-ES), que são estados simétricos de permutação com apenas simetrias da forma $S^{otimes n}$ , no Lema 4 da Ref. OurSymmPaper, a prova também se aplica a qualquer classe SLOCC $n$-qudit que tenha um estado estabilizado apenas por $S^{otimes n}$ enquanto $ngeq5$.
[66] JJ Sakurai. Mecânica Quântica Moderna (Edição Revisada). Addison Wesley, 1993.
[67] As séries de perturbações para $E_p$ e $|e_prangle $ têm convergência garantida porque a matriz $H_0 + epsilon V(epsilon)$ é hermitiana e analítica (ou seja, cada entrada da matriz é analítica) na vizinhança de $epsilon=0$ onde $epsiloninmathbb{R}$ e pelo Teorema de Rellich Rellich,FriedlandBook, todos os autovalores e entradas dos autovetores também devem ser analíticos na vizinhança de $epsilon=0$.
[68] F. Rellich, Teoria da Perturbação de Problemas de Valores Próprios, Gordon & Breach, Nova York, 1969.
[69] S. Friedland, Matrizes: Álgebra, Análise e Aplicações, World Scientific, 2015.
[70] Como a série de perturbações do autovalor $E_p$ converge em $epsilon$, pode-se escolher $epsilon$ pequeno o suficiente para que o valor absoluto da soma dos termos $mathcal{O}(epsilon^2)$ seja estritamente menor que $ frac{1}{2}(frac{1}{r}-1)$ para $E_0$ e $frac{1}{2r^{p-1}}(frac{1}{r}-1)$ , que é metade da distância entre $(p-1)$-ésimo e $p$-ésimo autovalores não perturbados, para $E_p$ onde $pin{1,ldots,d-1}$ e $0
[71] Como a série de perturbações do autovetor $|e_prangle $ converge em $epsilon$, pode-se escolher $epsilon$ pequeno o suficiente para que o valor absoluto da soma dos termos $mathcal{O}(epsilon^2)$ para $langle0| e_prangle$ é estritamente menor que 1 para $|e_0rangle $ e $|frac{epsilonsqrt{r}^{p}}{(1-r^p)(1-omega^{-p})}|$ para cada $ |e_prangle $ onde $pin{1,ldots,d-1}$, mantendo ${E_p}$ nota de rodapé não degenerada:pert.
[72] É fácil ver o seguinte: Se $Sin SL(d,mathbb{C})$ quase comuta com duas $dtimes d$ matrizes diagonais definidas positivas $Lambda$ e $D$ tais que $Lambdanotpropto D$, $S $ deve ser uma soma direta de matrizes de bloco que atuam nos autoespaços (degenerados) de $Lambda^{-1}D$. Além disso, para cada bloco em $S$ cujo intervalo está dentro do autoespaço (degenerado) de um único autovalor de $Lambda$ ou $D$, o bloco é unitário.
[73] Ao multiplicar a Eq. (1) por $|A_3rangle $ (que é o estado inicial $|Psi_srangle $ aqui) onde $g=sqrt{Delta'}otimes sqrt{D'}otimes {1}$ e $h=sqrt{Delta}otimes sqrt {D}otimes {1}$, o termo $g^daggersum_q N_q^dagger N_q g|A_3rangle =0$ porque todos $N_qinmathcal{N}_{gPsi_s}$ satisfazem $N_q g|A_3rangle =0$ por definição.
[74] Alternativamente, pode-se ver isso mostrando que $|A_3rangle $ é o único estado entre todos os candidatos MES na Observação 11 que tem uma matriz de densidade reduzida de qutrit único completamente mista para todas as 3 divisões bipartidas. A aplicação do teorema de Nielsen Nielsen a todas as 3 bipartições prova que $|A_3rangle $ não é de fato alcançável por LOCC.
[75] O procedimento de preparação acima não funciona para $|psi(alpha_1,alpha_2,beta_1,beta_2)rangle $ com $beta_1=beta_2$ porque uma das colunas em $U_2$ e $U_3$ torna-se totalmente zero quando $beta_1=beta_2$ .
Citado por
[1] Moisés Bermejo Morán, Alejandro Pozas-Kerstjens e Felix Huber, “Desigualdades de Bell com Medidas Sobrepostas”, Cartas de Revisão Física 131 8, 080201 (2023).
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As citações acima são de SAO / NASA ADS (última atualização com êxito 2024-03-01 14:41:19). A lista pode estar incompleta, pois nem todos os editores fornecem dados de citação adequados e completos.
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- Fonte: https://quantum-journal.org/papers/q-2024-02-29-1270/
