トポロジーの中心的な研究対象は多様体と呼ばれる空間であり、拡大すると平坦に見えます。たとえば、球の表面は 2 次元多様体です。トポロジストは、このような 2 次元多様体をよく理解しています。そして彼らは、3 次元多様体と 5 次元以上の多様体を理解できるツールを開発しました。

しかし、四次元では、「すべてが少し狂ってしまう」と彼は言いました。 サムヒューズ, オックスフォード大学の博士研究員。ツールが機能しなくなります。エキゾチックな行動が現れます。として トム・ムロウカ マサチューセッツ工科大学の教授は、「興味深い現象が発生する余地は十分にありますが、それらがバラバラになる余地はそれほど多くありません。」と説明しました。

1990 年代初頭、ムロウカと ピーター・クロンハイマー ハーバード大学の博士らは、二次元表面を四次元多様体内にどのように埋め込むことができるかを研究していました。彼らはこれらの表面を特徴付けるための新しい技術を開発し、他の方法ではアクセスできない 4 次元多様体の構造について重要な洞察を得ることができました。彼らの発見は、広範なクラスの曲面のメンバーはすべて、基本的な性質を変えずに、比較的単純な方法で親多様体をスライスすることを示唆しました。しかし、これが常に真実であることを証明できる人は誰もいませんでした。

2月には一緒に ダニエル・ラバーマン ブランダイス大学ヒューズ校 一連の反例を構築した — 数学者が不可能だと信じていた方法で親多様体を解剖する「クレイジーな」二次元曲面。反例は、4 次元多様体が、数十年前の数学者が認識していたよりもさらに著しく多様であることを示しています。 「本当に美しい紙です」とムロウカさんは言う。 「私はただそれを見続けています。おいしい小物がたくさんあるよ。」

リストの作成

昨年末、ルーバーマン 整理を手伝った 低次元トポロジーにおける最も重要な未解決の問題の新しいリストを作成した会議。その準備として、彼は 1997 年の重要な未解決のトポロジカル問題のリストを調べました。そのリストには、クロンハイマーがムロウカとの研究に基づいて提起した質問が含まれていました。 「それはそこにありました、そしてそれは少し忘れられていたと思います」とルーバーマンは言いました。今なら答えられると彼は思った。

この疑問を理解するには、まず単純接続多様体と基本群という 2 つの重要な概念を考慮することが役立ちます。

単純結合多様体は穴が貫通していない空間です。 1 次元では、無限の線は単純に接続されますが、円は接続されません。 2 次元では、無限平面と球の表面は単純に接続されていますが、ドーナツの表面は接続されていません。

数学者は、多様体上にループを配置し、それらがどのように変形されるかを考慮することによって、この区別を厳密にしています。ループをある点まで縮小できる場合、多様体は単純に接続されます。たとえば、平面や球の表面ではこれが可能です。紐をピンと張って引くことを考えてください。しかし、その紐が一周すると縮むことはありません。同様に、ドーナツの表面では、中​​央の穴の周囲を通るループや中央の穴を通過するループを単一点に変形することはできません。ドーナツ自体が邪魔です。

数学者は、単純に接続されていない空間を、その構造がループの縮小方法を反映するオブジェクトである「基本群」を計算することによって分類します。単純に接続されている多様体は、要素が 1 つだけある「自明な」基本群を持ちます。しかし、穴のある多様体には、より複雑な基本群が含まれます。

単純に接続されているだけの 4 次元多様体は、依然としてかなり奇妙です。それらを理解するために、数学者はそれらに埋め込まれた 2 次元表面に何が起こるかを熟考します。

類推して、紐の輪を紙の上に平らに置くことを考えてみましょう。それを使ってできることはあまりありません。しかし、それを三次元空間に持ち上げると、複雑な結び目を作ることができます。文字列 (1 次元多様体) を操作する方法によって、文字列が埋め込まれている空間の性質が明らかになります。

同様に、より複雑な 4 次元の世界では、2 次元の曲面が「さまざまな方法で、ビジネス全体にとって一種の鍵となる」と Ruberman 氏は言います。 「曲面は 4 次元多様体について、予想以上に多くのことを教えてくれます。」曲面を使用すると多様体を区別できます。曲面が 1 つの多様体内に存在でき、別の多様体内には存在できない場合は、それらの多様体が異なることがわかります。また、サーフェスを使用して、古い多様体から新しい多様体を構築することもできます。

表面には、対応する基本グループもあります。そしてそれらの補体、つまり表面を取り除いたときに残る多様体の部分も同様です。たとえば、球やドーナツの表面のような 2 次元多様体から赤道を取り除くと、切り離された 2 つの半球が得られます。しかし、水平のリングではなく垂直のリングを削除すると、ドーナツの表面は一体のまま残ります。同様に、4 次元多様体から曲面を切り出す方法に応じて、さまざまな種類の補体を得ることができます。

1990 年代に遡ると、Mrowka と Kronheimer は、XNUMX 次元多様体から XNUMX 次元表面を切り出すと何が起こるかを調査しました。多様体自体が単純に接続されている場合、それらの補部分も単純に接続されている必要があることを保証するために、表面はどのような条件を満たさなければなりませんか?

クロンハイマーとムロウカは、ある種の表面には単純に接続されていない補体が存在する可能性があることを知っていました。しかし、彼らの研究は、別の広範なクラスの表面が常に単純に接続された補体を持っているに違いないことを示しているようでした。

ほぼ 2023 年間、このクラスの補体が単純に接続されていない曲面の例を誰も見つけることができませんでした。しかし、XNUMX 年の秋にこの問題に遭遇した後、ルーバーマン氏はできると考えました。 XNUMX 次元多様体から始めて曲面を切り出す代わりに、必要な特性を持つ XNUMX 次元曲面から始めて、その周囲に多様体を構築しました。

まず、表面を 4 次元の塊に太らせました。ボールのような 3 次元の物体に 2 次元の境界があるのと同じように、この 4 次元の塊には 3 次元の境界がありました。 Ruberman は、慎重に選択した 4 次元多様体を境界の反対側に取り付け、表面の補足として機能させたいと考えました。この戦略が機能した場合、この多様体は複雑な基本群を持つことになりますが、すべてを合わせた基本群は自明なものになります。したがって、新しく構築された 4 次元多様体は単純に接続されます。

しかし、すべてを正しい方法で接着できるようにするには、新しい追加の基本グループがあらゆる種類の特性を満たしていることを証明する必要がありました。 「どうすればいいのか全く分かりませんでした」とルーバーマン氏は語った。

そして70月、群理論学者であるヒューズがブランダイスで講演した。ラバーマン氏も観客の中にいた。彼は、ヒューズが探していた欠けている部分を持っているかもしれないことに気づきました。翌日二人は会い、数時間以内に必要な主なアイデアを練り上げた。ルーバーマンに欠けていたものは、「現時点で群理論家が80、XNUMX年にわたって計算してきたものである」とヒューズ氏は述べた。 「私たちはずっとこの状況にいます。」週末までに、彼らは校正刷りを完成させた。

「私はいくつかのことを知っていました、そして彼もいくつかのことを知っていました、そして私たち2人の間では、それを実行するのに十分な知識がありました」とルーバーマンは言いました。

集団理論が証明に使用される方法のため、「それは少し珍しいです」と彼は言いました マギーミラー テキサス大学オースティン校の博士。 「これは、ほとんどの 4 次元トポロジストが快適に理解できるものとは少し異なって書かれています。」

この結果は、4 次元トポロジーがいかに複雑になるかを示すもう 1 つの例です。 「私たちが思っていた以上に、興味深いサーフェスの埋め込みが存在します」とヒューズ氏は言います。これにより、多様体を分類することがさらに難しくなり、多様体に関する他の種類の結果を証明することが難しくなります。

それにもかかわらず、3月には、 イナンス・バイクル マサチューセッツ大学アマースト校の教授で、昨年のリスト作成会議をルーバーマン氏と主催した。 解決策を発表した 1997 年のリストの単純に接続された XNUMX 次元多様体を含む別の問題に。

トポロジストたちが家の掃除をしているようだ。