תארו לעצמכם שרשת של משושים, דמויי חלת דבש, נמתחת לפניכם. כמה משושים ריקים; אחרים מלאים בעמוד של בטון מוצק בגובה 6 רגל. התוצאה היא מבוך מסוגים. במשך יותר מחצי מאה, מתמטיקאים העלו שאלות על מבוכים כאלה שנוצרו באקראי. כמה גדול הרשת הגדולה ביותר של שבילים שפונו? מה הסיכוי שיש נתיב מקצה אחד למרכז הרשת וחוזר החוצה שוב? איך הסיכויים האלה משתנים ככל שהרשת מתנפחת בגודלה, ומוסיפה עוד ועוד משושים לקצוות שלה?

על שאלות אלו קל לענות אם יש הרבה מקום ריק או הרבה בטון. נניח שלכל משושה מוקצה מצבו באקראי, ללא תלות בכל שאר המשושים, עם הסתברות קבועה על פני כל הרשת. יכול להיות, נניח, סיכוי של 1% שכל משושה ריק. בטון גודש את הרשת, מותיר רק כיסי אוויר קטנים ביניהם, מה שהופך את הסיכוי למצוא נתיב לקצה למעשה אפסי. מצד שני, אם יש סיכוי של 99% שכל משושה ריק, יש רק פיזור דק של קירות בטון, חלקים נקודתיים של שטח פתוח - לא הרבה מבוך. מציאת נתיב מהמרכז לקצה במקרה זה היא כמעט ודאות.

עבור רשתות גדולות, יש שינוי פתאומי להפליא כאשר ההסתברות מגיעה ל-1/2. כשם שהקרח נמס למים נוזליים באפס מעלות צלזיוס בדיוק, אופי המבוך משתנה באופן דרסטי בנקודת המעבר הזו, הנקראת ההסתברות הקריטית. מתחת להסתברות הקריטית, רוב הרשת יהיה מונח מתחת לבטון, בעוד שבילים ריקים מגיעים תמיד למבוי סתום. מעל ההסתברות הקריטית, שטחים מסיביים נותרים ריקים, וקירות הבטון הם שבוודאי יתפוגגו. אם תעצרו בדיוק בהסתברות הקריטית, הבטון והריק יאזנו זה את זה, כששניהם לא יוכלו לשלוט במבוך.

"בנקודה הקריטית, מה שמופיע הוא רמה גבוהה יותר של סימטריה", אמר מייקל אייזנמן, פיזיקאי מתמטי באוניברסיטת פרינסטון. "זה פותח את הדלת לגוף עצום של מתמטיקה." יש לו גם יישומים מעשיים לכל דבר, החל מעיצוב מסכות גז ועד ניתוחים של התפשטות מחלות זיהומיות או כיצד נפט חודר דרך סלעים.

ב נייר שפורסם בסתיו שעבר, ארבעה חוקרים חישבו סוף סוף את הסיכוי למצוא נתיב למבוכים בהסתברות קריטית של 1/2.

מירוץ חימוש

כדוקטורנט בצרפת באמצע שנות ה-2000, פייר נולין למד את תרחיש ההסתברות הקריטי בפירוט רב. המבוך האקראי, הוא חושב, הוא "דגם ממש יפה, אולי אחד הדגמים הפשוטים ביותר שאתה יכול להמציא". לקראת סיום לימודי הדוקטורט שלו, שאותם סיים ב-2008, נשבה נולין בשאלה מאתגרת במיוחד לגבי איך מתנהגת רשת משושה בהסתברות קריטית. נניח שאתה בונה רשת סביב נקודה מרכזית, כך שהיא מתקרבת למעגל, ומשם אתה בונה באקראי את המבוך שלך. נולין רצה לבחון את הסיכוי שתצליחו למצוא שביל פתוח שמגיע מהקצה למרכז וחוזר החוצה, מבלי לחזור על עצמו. מתמטיקאים קוראים לזה שביל דו-זרועי מונוכרומטי, מכיוון שגם ה"זרועות" פנימה וגם כלפי חוץ נמצאות בשבילים פתוחים. (לפעמים רשתות כאלה נחשבות באותה מידה כעשויות משני צבעים שונים, נניח כחול בהיר וכחול כהה, ולא מתאים פתוחים וסגורים.) אם תגדיל את גודל המבוך, אורך הנתיב הדרוש יגדל גם כן. , והסיכוי למצוא נתיב כזה ילך וקטן. אבל כמה מהר הסיכויים פוחתים, כשהמבוך גדל באופן שרירותי?

שאלות קשורות יותר פשוטות נענו לפני עשרות שנים. חישובים משנת 1979 מאת מרסל דן נייס העריך את הסיכוי שתוכל למצוא נתיב אחד, או זרוע, מהקצה למרכז. (לעמת זאת עם הדרישה של נולין שתהיה זרוע אחת בכניסה ואחת נפרדת החוצה.) עבודתו של דן ניג'ס חזתה שהסיכוי למצוא זרוע אחת ברשת משושה הוא פרופורציונלי ל-$latex 1/n^{5/48}$ , איפה n הוא מספר המשבצות מהמרכז לקצה, או הרדיוס של הרשת. ב 2002, גרגורי לולר, עודד שרם ו וונדלין ורנר לבסוף הוכיח שהתחזית בזרוע אחת הייתה נכונה. כדי לכמת בצורה תמציתית את ההסתברות הפוחתת ככל שגודל הרשת גדל, החוקרים משתמשים במעריך מהמכנה, 5/48, הידוע כמעריך בעל זרוע אחת.

נולין רצה לחשב את המעריך המונוכרומטי החמקמק יותר בשתי זרועות. סימולציות מספריות בשנת 1999 הראה שהוא קרוב מאוד ל-0.3568, אך מתמטיקאים לא הצליחו לקבוע את ערכו המדויק.

היה הרבה יותר קל לחשב את מה שמכונה המעריך הפוליכרומטי של שתי זרועות, המאפיין את הסיכוי שמתחיל במרכז, אתה יכול למצוא לא רק שביל "פתוח" להיקף, אלא גם נתיב "סגור" נפרד. (חשבו על השביל הסגור ככזה שחוצה את ראשי קירות הבטון של המבוך.) בשנת 2001, סטניסלב סמירנוב וורנר הוכיח שהמעריך הזה היה 1/4. (מכיוון ש-1/4 גדול משמעותית מ-5/48, $latex 1/n^{1/4}$ מתכווץ מהר יותר מ-$latex 1/n^{5/48}$ as n גדל. הסיכוי, אם כן, למבנה דו-זרועי פוליכרומטי נמוך בהרבה מהסיכוי לזרוע אחת, כפי שניתן לצפות.)

החישוב הזה נשען מאוד על ידע על צורת האשכולות בגרף. תארו לעצמכם שמבוך בהסתברות קריטית הוא גדול ביותר - מורכב ממיליוני ומיליוני משושים. כעת מצאו מקבץ של משושים ריקים ועקבו אחר קצה המקבץ בעזרת שרפי שחור עבה. זה כנראה לא יביא לכתם פשוט ועגול. מקילומטרים באוויר, תראה עקומה מתפתלת שמכפילה כל הזמן חזרה, לעתים קרובות נראה כאילו היא עומדת לחצות את עצמה אבל אף פעם לא ממש מתחייבת.

זהו סוג של עקומה הנקראת עקומת SLE, שהוצג על ידי שרם ב-a נייר 2000 שהגדיר מחדש את התחום. מתמטיקאי החוקר את הסיכויים למצוא נתיב אחד פתוח ושביל אחד סגור יודע שהנתיבים האלה חייבים לשבת בתוך אשכולות גדולים יותר של אתרים פתוחים וסגורים, שבסופו של דבר נפגשים לאורך עקומת SLE. התכונות המתמטיות של עקומות SLE מתורגמות לאחר מכן למידע שלא יסולא בפז על נתיבים בתוך המבוך. אבל אם מתמטיקאים מחפשים מספר נתיבים מאותו סוג, עקומות SLE מאבדות הרבה מהיעילות שלהן.

עד 2007, נולין ושותפו וינסנט בפארה יצרו סימולציות מספריות המראות שהמעריך המונוכרומטי של שתי זרועות היה בערך 0.35. זה היה קרוב באופן חשוד ל-17/48 - סכום המעריך החד-זרוע, 5/48, והמעריך הפוליכרומטי של שתי הזרועות, 1/4 (או 12/48). "17/48 זה באמת מדהים", אמר נולין. הוא החל לחשוד ש-17/48 הוא התשובה האמיתית - כלומר יש קשר פשוט בין הסוגים השונים של המעריכים. אתה יכול פשוט להוסיף אותם יחד. "אמרנו, בסדר, זה טוב מכדי להיות שקר; זה חייב להיות נכון."

במשך זמן מה, שום דבר לא יצא מההשערה של נולין ובפרה, אם כי נולין פרסם זאת באתר שלו כדי שאחרים יוכלו לעבוד ממנו. הוא עבר להונג קונג ב-2017 כדי לקבל פרופסור באוניברסיטת העיר של הונג קונג, והמשיך לעבוד על הבעיה. בשנת 2018, הוא העלה את המעריך בשיחה עם ווי צ'יאן, שהיה אז פוסט דוקטורט באוניברסיטת קיימברידג' באנגליה. צ'יאן חקר גיאומטריה אקראית בהקשר רציף ולא בדיד, עם התמקדות מיוחדת בעקומות SLE. היא הייתה בעיצומו של פרויקט שהשתמש ב-SLE כדי לחשב מעריכים בסוג אחר של מודל אקראי, ונולין החלה לחשוד שהמומחיות שלה רלוונטית גם למעריך הדו-זרועי המונוכרומטי. הצמד מצא במהרה משוואה פשוטה למראה שהפתרון שלה ייתן את המעריך, אבל משוואה זו הסתמכה על כמות ביניים הקשורה למרחב המוקף בעקומת SLE בקצה הרשת. נולין וצ'יאן לא הצליחו להצמיד את המספר הזה.

"עשיתי הרבה חישובים, אבל עדיין לא הצלחתי לחשב את המאפיין הזה", אמר צ'יאן. "לא הצלחתי, אז פשוט הפסקתי לזמן מה."

"מעולם לא הזכרנו את זה לאף אחד כי לא היינו בטוחים אם זה יהיה שימושי או לא", הוסיף נולין.

מעריך עמוד השדרה

המעריך המונוכרומטי של שתי זרועות מעניין במיוחד מכיוון שהוא גם מתאר את "עמוד השדרה" של רשת: אוסף המשושים המחוברים לשתי זרועות נפרדות המשתרעות לשתי זרועות שאינן חופפות: אחת לקצה המבוך ואחת לקצה המבוך. המרכז שלו. כאשר אתרים אלו נצבעים, הם יוצרים רשת שמגיעה על פני כל הרשת ונקראת עמוד השדרה. כאשר חוקרים מדגים התפשטות מחלות או תצורות סלע נקבוביות, עמוד השדרה הוא כביש מהיר שלאורכו יכולים חיידקים או נפט לזרום. המעריך שחיפשו נולין וצ'יאן חושף את גודל עמוד השדרה ומכונה מעריך עמוד השדרה.

נולין וצ'יאן לא היו היחידים אחרי עמוד השדרה. שין סאן, אז באוניברסיטת פנסילבניה, ניסה גם הוא לחשב את מעריך עמוד השדרה. במהלך השנים הקודמות, סאן ומשתפי פעולה, כולל נינה הולדן מאוניברסיטת ניו יורק, מצאו דרך לחקור עקומות SLE באמצעות משטחים פרקטליים אקראיים. למשטחים המרווחים והמעוקלים הללו יש קצוות מסולסלים הנמשכים לתוך קנוקנות ארוכות. חלק מהנקודות נמצאות במרחק קצר מהשכנים שלהן, בעוד שאחרות הן מסע של חודשים. במקומות מסוימים, ההשפעות הללו קיצוניות מכדי שניתן יהיה להמחיש אותן. "זה לא ממש אפשרי לצייר את זה" בצורה מדויקת לחלוטין, אמר הולדן. "תצטרך למתוח את פני השטח הרבה."

בקיץ 2022, סאן גייסה את ז'יז'י ז'ואנג, סטודנטית לתואר שני, להצטרף לחקר המבוך האקראי בהסתברות קריטית. הם שקלו מבוכים אקראיים שבהם המשושים מונחים על משטח פרקטלי אקראי, במקום על מישור שטוח. מכיוון שהמקרה קובע היכן ובכמה המשטח נמתח ונדחס, למשטח יש תכונות ייחודיות. (מאפיינים אלה הופכים גם משטחים כאלה לשימושיים לפיזיקאים החוקרים מודלים של כבידה קוונטית ביקום דו-ממדי, ומעניקים להם את שמם: משטחי הכבידה הקוונטיים Liouville.) לדוגמה, אם אתה לוקח מספריים למשטח כזה, הצורות של שני חצאים אינם תלויים אחד בשני. "סוג כזה של עצמאות באמת מפשט דברים מאוד", אמר סקוט שפילד של המכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס. כשדברים הם אקראיים, אתה יודע עליהם פחות, אבל זה עשוי להיות פחות מידע שצריך להסביר בצורה מייגעת.

סאן וג'ואנג ניסו תחילה לקבוע את ההסתברות שיש שביל פתוח המחבר מעגל קטן סביב מרכז הרשת למעגל גדול יותר שמסביב. לאחר שהם ענו על השאלה הזו, סאן הציע עליית מדרגה בשאפתנות: חישוב הסיכוי שיש שני נתיבים המחברים את המעגלים המקוננים, מה שהיה נותן להם דרך לחשב את מעריך עמוד השדרה. אולם עד מהרה הם נתקלו בקשיים. "ניסינו את הגישה הזו במשך מספר חודשים, אבל נראה שהחישוב אינו ניתן לביצוע", כתב ג'ואנג בדוא"ל.

בינתיים, למרות שנולין וצ'יאן לא הצליחו למצוא את הערך של המעריך, הם התקדמו בדרכים אחרות. קיאן לקחה חופשה מתפקידה במרכז הלאומי הצרפתי למחקר מדעי והצטרפה לנולין כפרופסור באוניברסיטת סיטי בהונג קונג. (הם גם התחתנו.) בקיץ 2021, היא נתקלה בכמה מאמרים של סאן ומשתפי הפעולה שלו שסקרנו אותה, כך שככל שהמגבלות הנסיעות במגפה הוסרו, היא תכננה ביקור בדצמבר 2022 במכון למחקר מתקדם בפרינסטון , ניו ג'רזי, שם בילתה סאן את השנה.

זה הוכיח ביקור רווחי. כשקיאן תיארה את המשוואה שהיא ונולין מצאו, סאן התחילה לחשוב שהיא עשויה להיות מתאימה לטכניקה שלו ושל ג'ואנג של שכבת מעל המבוכים על משטחי הכבידה הקוונטית של ליווויל. "זה סוג של צירוף מקרים," אמר סאן. "לבחור אחד יש מנעול, לבחור אחד יש מפתח."

ג'ואנג היה קצת סקפטי. "אין לנו תחזיות, ואנחנו אפילו לא יודעים אם לנוסחה תהיה פתרון נחמד", אמר, ותיאר את מצב העניינים באותה תקופה. סאן וג'ואנג בילו את החודשים הבאים בשימוש בטכניקות הכבידה הקוונטית של Liouville - המפתח - כדי לפתוח את הכמות החמקמקה במשוואת נולין וצ'יאן משנים קודם לכן - המנעול.

לאחר ארבעה חודשי עבודה, סאן וג'ואנג פתחו את המנעול המטאפורי. סאן שלח אימייל לג'ואנג, צ'יאן ונולין, והכריז: "חדשות נהדרות: נוסחה מדויקת למעריך עמוד השדרה". התשובה, הוא מצא, הייתה ביטוי מסובך למדי של שורשים ריבועיים ופונקציית הסינוס הטריגונומטרית. זה היה בהתאם להערכות המוקדמות יותר, זרם אינסופי של ספרות שמתחיל ב-0.3566668.

הארבעה הפכו את עבודתם למאמר כתוב, חידדו את הטיעון עד שהרעיונות של נולין וצ'יאן מצד אחד, וסאן וג'ואנג מהצד השני, התחברו כדי ליצור הוכחה ששפילד, שהיה יועץ הדוקטורט של סאן, כינה "יפהפייה פְּנִינָה." "אסטרטגיית ההוכחה בהחלט מפתיעה ומקורית מאוד, אבל אז כשאתה רואה אותה, זה גם משהו שמרגיש די טבעי", אמר הולדן.

נולין מקונן על החשד שלו ב-2011 שהמעריך היה בדיוק 17/48. "הטעינו את המגרש די הרבה זמן. אני לא מאוד גאה בזה". מערך עמוד השדרה שונה באופן מדהים מבני דודיו הפוליכרומטיים. לא רק שזה לא רציונלי, אלא שהוא גם טרנסצנדנטי, כלומר כמו $latex pi$ ו e, לא ניתן לכתוב אותו כפתרון למשוואה פולינומית פשוטה.

"ההוכחה לא באמת מסבירה מאיפה הנוסחה הזו באה", אמר. "הראינו את זה לפיסיקאים, ואנחנו באמת מצפים לתובנה שלהם."

האופי הטרנסצנדנטי של מעריך עמוד השדרה משך את תשומת לבם של אחרים בשטח. גרגורי הובר מה-Chan Zuckerberg Biohub, שהיה שותף למחבר א מאמר המשך לגבי מעריך עמוד השדרה, אמר שהוא חושב שהתוצאה היא "הצצה ראשונה ליבשת חדשה" במכניקה הסטטיסטית. למרות ששילוב עקומות SLE וכוח הכבידה הקוונטית של ליווויל הוא טכני ביותר, התשובה המספרית הברורה והפשוטה שהופיעה, הוא כתב, היא "פשוטה ואלגנטית להפליא".