במהלך השנתיים האחרונות, מתמטיקאים זיהו את הגרסאות הטובות ביותר של צורות של חדר משחקים של ילד. התוצאות הללו תופסות פינה מוזרה במתמטיקה, ולמרבה הצער, נוצרו על ידי שיתופי פעולה בלתי סבירים, הכוללים מתמטיקאי שמתאמן באוריגמי עם אשתו ופרופסור המלמד את הסטודנטים שלה לשחק עם נייר.

העבודה מתרחשת במסגרת לימוד צורות "אופטימליות", הכוללת הבנה איזו גרסה של צורה משיגה בצורה הטובה ביותר מטרה בהינתן אילוצים מסוימים. דבורים מבינות זאת באופן מרומז: הן בונות חלות דבש עם תאים משושים מכיוון שהמשושים מספקים את מירב יכולת האחסון תוך שימוש במינימום המשאבים.

לפחות במדעי הרוח, האדם הראשון שחיפש צורה כזו היה דידו, המלכה המייסדת של קרתגו. לאחר שנחתה על מה שהוא היום חוף תוניסיה, היא כרתה עסקה עם המלך הברברי, אירבס. הוא הסכים לתת לה כל אדמה שתוכל לתחם בעור שור בודד. במקום להניח את המסתור הדל בצורה שטוחה, כפי שציפתה אירבס, חתכה אותו דידו לרצועות דקות, שאותן השתמשה כדי להקיף ולתבוע גבעה שלמה. התובנה של המלכה העולה הייתה שבהינתן כמות קבועה של חומר, הצורה האופטימלית התוחמת את השטח, שהגדירה את גבולות העיר של קרתגו, היא המעגל.

"בדרך כלל יש להם את הטעם הזה. יש משפחה של חפצים, ואתה רוצה לדעת איזה מהם ממקסם את זה או ממזער את זה", אמר ריצ'רד שוורץ מאוניברסיטת בראון, שפרסם שלוש תוצאות על צורות אופטימליות ברצף מהיר החל מאוגוסט האחרון, כולל אחת עם אשתו, בריין אליזבת בראון.

כל התוצאות האחרונות עוסקות במזעור כמות הנייר, החבל או החוט המשמשים ליצירת צורה מסוימת. הריצה האחרונה של שוורץ התחילה ברצועת Möbius, שנוצרת על ידי לקיחת רצועת נייר, מתן טוויסט וחיבור הקצוות. יש לו את התכונה המוזרה להיות משטח שיש לו רק צד אחד, מה שאומר שאתה יכול לעקוב אחר כל פני השטח שלו מבלי להרים את האצבע.

עוד בשנות השלושים של המאה הקודמת, מתמטיקאים ניסו למצוא את המלבן העיקש ביותר שניתן לסובב לרצועת מוביוס. נראה ברור אינטואיטיבית שקל לסובב מלבן ארוך וצנום לרצועה חד צדדית, אבל זה בלתי אפשרי לעשות זאת עם ריבוע. אבל איפה בדיוק עובר הגבול?

צורות אופטימליות נוצרות כאשר אנו מנסים למזער או למקסם ערך כלשהו, ​​כמו, במקרה זה, היחס בין רוחב רצועה לאורכה. בדרכים מתמטיות קריטיות, הם הגרסה הקיצונית ביותר של צורה. חקר הצורות האופטימליות הוא גשר בין הגיאומטריה, שבה האורך חשוב, לבין הטופולוגיה, ענף במתמטיקה העוסק באובייקטים אידיאלים שניתנים למתיחה ולדחיסה עד אין קץ. בטופולוגיה, רצועות מוביוס בגדלים שונים ניתנות להחלפה, מכיוון שניתן למתוח רצועה קטנה לרצועה גדולה, רצועה רחבה לרצועה רזה, וכן הלאה. באופן דומה, רצועות מלבניות בכל גודל הן כולן זהות מבחינה טופולוגית.

אולם פעולת פיתול רצועה וחיבור הקצוות משנה דברים. להתחשב בצורות אופטימליות זה להתחשב בגבולות הטופולוגיה. כן, אתה יכול לסחוט רצועת מוביוס אחת לאחרת. אבל כמה אפשר לסחוט לפני שיהיה בלתי אפשרי להמשיך הלאה?

"שאלה אחת היא, מהו האורך הקטן ביותר והשנייה היא, האם יש דרך להשיג את האורך הקטן ביותר וכיצד זה נראה," אמר. אליזבת דנה מאוניברסיטת וושינגטון ולי.

בסך הכל, היו לפחות חמש תוצאות בשנים האחרונות שזיהו את הערכים הטובים ביותר עבור צורות שונות, כולל רצועת Möbius (עם טוויסט אחד), רצועת Möbius בעלת שלושה פיתולים והקשר הפשוט. חלק מהתוצאות הללו מזהות את הערך הידוע ביותר עבור צורה; אחרים הולכים צעד קדימה ומוכיחים שאין ערך טוב יותר אפשרי.

רצועת מוביוס האופטימלית

כדי לקבוע עד כמה מלבן קרוב לריבוע, מתמטיקאים משתמשים במספר שנקרא יחס רוחב-גובה. זה פשוט האורך חלקי הרוחב. לריבוע יש יחס גובה-רוחב של 1, בעוד שלמלבן ארוך וצנום דמוי סרט יש יחס רוחב-גובה גדול בהרבה. לסרט הזה יש הרבה רפיון, מה שמאפשר לסובב את קצוות המלבן ולחברם זה לזה. אבל ככל שהרצועה מתקצרת ויחס הרוחב-גובה מתקרב ל-1 - ריבוע - זה נהיה קשה יותר. בשלב מסוים זה כבר לא אפשרי.

בשנת 1977, שני מתמטיקאים שיערו שכדי להתפתל ברצועת מוביוס, מלבן ברוחב 1 חייב להיות ארוך מ-$latex sqrt{3}$, כמו ברצועה בצד ימין למטה. באוגוסט 2023, שוורץ הוכיח שהם נכונים: קרוב יותר לריבוע מזה, ואין דרך לסובב את המלבן לרצועת מוביוס.

אולי תתפתו למצוא פתרון חכם. אם מקפלים ריבוע כלפי מעלה כמו אקורדיון, ויוצרים רצועת נייר דקה, לאחר מכן תוכלו לסובב אותו לרצועת מוביוס. אבל זה לא נחשב, כי הקפלים חדים, לא חלקים. (לחלקות יש משמעות מתמטית מסוימת שמתיישרת עם המשמעות האנגלית הפשוטה).

כלי מרכזי אחד בהבנת איך נראות צורות אופטימליות נקרא "צורה מגבילה". צורות מגבילות שונות בהיבטים מכריעים מהצורות שעברו אופטימיזציה, אך גם חולקות חלק מהמאפיינים שלהן. באנלוגיה גסה, חשבו כיצד אם תמתחו מלבן כדי להפוך אותו ארוך ורזה יותר הוא מתחיל להיראות כמו קו, או איך מצולעים עם יותר ויותר צלעות מתחילים להידמות למעגל.

במקרה זה, שוורץ יוצר צורה מגבילה לרצועת Möbius. התחל עם פיסת נייר שטוחה ברוחב יחידה אחת ובאורך $latex sqrt{3}$ יחידות. התחל על ידי קיפולו לפי ההוראות למטה. זה ייצור קמטים חדים בדומה לאלו של האקורדיון, אבל בעוד רגע נהפוך את הקמטים האלה לחלקים על ידי הרפיית הנייר רק מעט.

מקפלים מטה מהפינה השמאלית העליונה ומעלה מהפינה הימנית התחתונה, יוצר יהלום. לאחר מכן קפלו את קו האמצע של היהלום והדביקו יחדיו את שני הקצוות, המוצגים בקווים מקווקווים כחולים וצהובים, הנפגשים בחלקו הפנימי של היהלום. כעת הוסף רק את המעט הקטן ביותר של רפיון על ידי הפיכת הרצועה לקצת יותר ארוכה, או קצת יותר צרה, כך שתוכל למשוך את המשולשים זה מזה. זו רצועת המוביוס שלך. נמלה קטנה לאין שיעור שנסעה על פני המשולש, בעקבות הקפלים, הייתה מסתובבת מסביב - יש לה רק צד אחד.

מתמטיקאים יודעים זה מכבר שמשולש כזה הוא צורה מגבילה לרצועות מוביוס. שוורץ הראה שלא קיימות צורות מגבילות אחרות שיאפשרו רצועה עקשה יותר. לשם כך, הוא השתמש ב-"T" שנוצר על ידי קפלי המשולש, כפי שניתן לראות במשולש הימני ביותר למעלה.

שוורץ טיעונים משולבים מטופולוגיה וגיאומטריה. הוא השתמש בטופולוגיה כדי להראות שעל כל רצועת מוביוס מנייר אפשר לצייר קווים מצטלבים היוצרים T בצורה מסוימת. לאחר מכן, באמצעות גיאומטריה בסיסית כלשהי - משפט פיתגורס ואי השוויון במשולש - הוא הראה שאם T כזה קיים (שזה חייב), יחס הרוחב-גובה של הרצועה צריך להיות גדול מ-$latex sqrt {3}$.

גליל הנייר המעוות האופטימלי

לאחר שוורץ זיהה את רצועת מוביוס האופטימלית, אנשים שאלו אותו: מה יקרה עם עוד טוויסטים? כל מספר אי זוגי של פיתולים מייצר רצועת Möbius, מכיוון שלצורה המתקבלת עדיין יש רק צד אחד. מצד שני, מספר זוגי של פיתולים מניב מבנה דו-צדדי הנקרא גליל מעוות (מוצג למטה משמאל). בניגוד לצילינדר רגיל, אין לו פנים וחוץ מוגדרים היטב.

אחרי המאמר שלו על רצועת מוביוס, שוורץ הוכיח בסוף ספטמבר ניתן ליצור את הצורה המגבילה של הגליל המעוות על ידי קיפול מלבן של 1 על 2 שנוצר מארבעה משולשים שווה שוקיים מוערמים (כפי שמוצג למעלה מימין). כדי להתחיל, קפלו את המשולש B מאחורי משולש A, ומשולש D מעל המשולש C. (חצים בקו מקווקו מצביעים על קפלים הולכים אחורה, וחצים מלאים מציינים קפלים בכיוון קדימה.) לאחר מכן קפלו את המשולש שנוצר לשניים על ידי הנחת החצי התחתון מאחורי החצי העליון. לאחר מכן הדביקו יחד את הקווים הכחולים והצהובים המקווקו (שהיו במקור החלק העליון והתחתון של המלבן). לבסוף, הפוך את המלבן ההתחלתי לעוד מעט, כך שיהיה לך מספיק רפיון כדי למשוך את הצורה השטוחה למעלה לתוך גליל מעוות מעוות. "הרעיון הבסיסי הוא לבנות תחילה את הצורה המגבילה ואז להרפות מעט את הצורה ולעגל את הקפלים", כתב שוורץ. "אני חושב שזה קצת כמו להכין את הדבר ואז להשרות אותו לילה במים." כפי שניתן לראות באיור (למעלה מימין), צורת המשולש המוערמת ארוכה פי שניים מאשר רחבה, כך שיחס הגובה-רוחב האופטימלי של הגליל המעוות הוא 2.

רצועת Möbius עם שלושה טוויסטים האופטימלית

לאחר מכן הפנה שוורץ את תשומת לבו לרצועת מוביוס בעלת שלושת הפיתולים. כמו רצועת הטוויסט האחד, מדובר בדמות חד צדדית, אך בגלל שני הפיתולים הנוספים, הגבול שלה יותר מסובך. שוורץ חשב שצורתו המגבילה הולכת להיות המשושה, צורה מביכה שהפכה לפופולרית על ידי מרטין גרדנר ב טור 1956 in סיינטיפיק אמריקן. משושים נעשים על ידי קיפול רצועה של משולשים שווי צלעות והדבקת הקצוות יחד. משושה פחוס נראה כמו משושה מפוצל לשישה משולשים. אבל זה יכול להיות "להגמיש" על ידי צביטה של ​​הצדדים הסמוכים זה לזה, כמו ב משחק ילדים MASH. כאשר הוא נפתח שוב, קבוצה אחרת של משולשים פונה החוצה. "הדבר הזה הוא כמו אם למבשר עתידות ולהקת מוביוס נולד תינוק", אמר שוורץ.

אבל אשתו של שוורץ, בריין אליזבת בראון, התחילה לשחק עם נייר בעצמה וחשפה את המשושה כ"קצת הרינג אדום", אמר שוורץ. בראון מצאה קונסטרוקציה שהיא מכנה "הצלבה" (מוצגת למטה) שהיא צורה מגבילה של רצועת מוביוס בעלת שלושה פיתולים ואורכה פי שלושה מהרוחבה. ראשית מקפלים לאורך הקו האלכסוני באמצע הרצועה, לוקחים את החלק התחתון מול החלק העליון. לאחר מכן מקפלים את המשולש הימני העליון מול המשולש שמתחתיו ומשמאלו. כעת יש לך את הצורה המוצגת בשלב 2: מקבילית מלוכסנת עם ריבוע בולט ימינה. הביאו את הריבוע מאחורי המקבילית, ואת המשולש למעלה מול הריבוע שנמצא כעת מתחתיו. זה יוצר ריבוע חדש, המוצג בשלב 3.

מה שהיו במקור הקצוות העליונים והתחתונים (המוצגים בקווים כחולים וצהובים מנוקדים) נמצאים כעת שניהם בקצה השמאלי של הריבוע; הדבק אותם יחד ויצרת צורה מגבילה לרצועת Möbius עם שלושה פיתולים. כמו במקרה של רצועת פיתול אחד, הצורה השטוחה הזו אינה בעצמה רצועת מוביוס, אבל אם ניתן לה רק מעט אורך נוסף כדי שיוכל להירגע לתלת מימד ללא עיקולים חדים, היא תיצור רצועה של שלושה פיתולים.

בראון ושוורץ מצאו גם צורה מגבילה שונה לחלוטין לגליל שלושת הפיתולים, שהם קוראים לו הכוס. בניגוד לצולב, לא ניתן לגרום לכוס לשכב שטוחה. עם זאת, כמו ה-Criscross, הוא ארוך פי שלושה מהרוחב. בעיתון פורסם ב-16 באוקטובר, בראון ושוורץ מסבירים מדוע הם חושבים שלרצועת שלושת הפיתולים האופטימלית יש יחס רוחב-גובה של 3. אבל הם עדיין לא הצליחו להוכיח זאת, בין השאר בגלל קיומו של הגביע, שאינו יכול להוכיח זאת. להיות משוטח, פירושו שלא ניתן להרחיב את סוגי הטיעונים שוורץ העלה במקרים של סיבוב אחד ושני.

קשרי טרפויל אופטימליים

לא כל הצורות האופטימליות הן גרסאות ברצועת Möbius. מתמטיקאים גם חושבים כמה חומר אתה צריך כדי ליצור סוגים שונים של קשרים. בשנת 2020, Denne ושניים מתלמידיה לתואר ראשון - ג'ון קאר האדן וטרוי לארסן - למדו קשרים שניתן לצייר על פני השטח של טורוס, או סופגניה.

קשר הטורוס הפשוט ביותר - אכן, הקשר הלא טריוויאלי הפשוט ביותר, נקודה - נקרא חוט. זה כמו זה שאנשים רבים משתמשים בו בשלב הראשון של קשירת השרוכים שלהם על ידי יצירת לולאה בחתיכת חבל ומשיכת קצה אחד דרכו, אם במקום לקשור קשת, הם פשוט הדביקו את קצות השרוכים יחד כדי ליצור קשר יד עם שני הקצוות הרופפים מחוברים.

הדרך הרגילה של קשירת החוט שוות ערך לליפוף פיסת חוט סביב הטורוס כפי שמוצג כאן: