Ímyndaðu þér að rist sexhyrninga, eins og hunangsseimur, teygi sig fyrir þér. Sumir sexhyrningar eru tómir; önnur eru fyllt af 6 feta háum súlu úr gegnheilri steinsteypu. Útkoman er nokkurs konar völundarhús. Í meira en hálfa öld hafa stærðfræðingar varpað fram spurningum um slík völundarhús sem myndast af handahófi. Hversu stór er stærsti vefur hreinsaðra slóða? Hverjar eru líkurnar á því að það sé leið frá einni brún að miðju ristarinnar og til baka út aftur? Hvernig breytast þessar líkur þegar ristið stækkar að stærð og bætir við fleiri og fleiri sexhyrningum við brúnir þess?

Þessum spurningum er auðvelt að svara ef annað hvort er mikið autt eða mikið af steypu. Segjum að hverjum sexhyrningi sé úthlutað ástandi sínu af handahófi, óháð öllum hinum sexhyrningunum, með líkum sem eru stöðugar yfir allt ristina. Það gætu verið td 1% líkur á að hver sexhyrningur sé tómur. Steinsteypa þrengist um ristina og skilur aðeins eftir litla vasa af lofti á milli, sem gerir möguleikann á að finna leið að brúninni í raun núll. Á hinn bóginn, ef það eru 99% líkur á því að hver sexhyrningur sé tómur, þá er bara þunnt stráð af steyptum veggjum, greinandi slóðir af opnu rými - ekki mikið völundarhús. Að finna leið frá miðju að brún í þessu tilfelli er nánast viss.

Fyrir stór rist er ótrúlega skyndileg breyting þegar líkurnar ná 1/2. Rétt eins og ís bráðnar í fljótandi vatn við nákvæmlega núll gráður á Celsíus breytist eðli völundarhússins verulega á þessum umbreytingarpunkti, sem kallast mikilvægar líkur. Undir mikilvægum líkum mun megnið af ristinni liggja undir steinsteypu á meðan tómar slóðir koma undantekningarlaust á blindgötur. Ofan við mikilvægar líkur eru gríðarstór svæði skilin eftir tóm, og það eru steinsteyptir veggir sem eiga örugglega eftir að renna út. Ef þú stoppar nákvæmlega við mikilvægar líkur munu steypu og tómleiki koma á jafnvægi hvort annað, þar sem hvorugt er fær um að ráða yfir völundarhúsinu.

"Á mikilvæga tímapunkti, það sem kemur í ljós er meiri samhverfa," sagði Michael Aizenman, stærðfræðilegur eðlisfræðingur við Princeton háskólann. „Þetta opnar dyrnar að gríðarstórri stærðfræði. Það hefur einnig hagnýt forrit fyrir allt frá hönnun gasgríma til greininga á því hvernig smitsjúkdómar dreifast eða hvernig olía seytlar í gegnum steina.

Í blað sem sent var út síðastliðið haust, fjórir vísindamenn hafa loksins reiknað út líkurnar á að finna leið fyrir völundarhús með mikilvægum líkum 1/2.

Vopnakapphlaup

Sem doktorsnemi í Frakklandi um miðjan 2000, Pierre Nolin rannsakað mikilvæga líkindasviðsmynd mjög ítarlega. Hið tilviljanakennda völundarhús, telur hann, sé „mjög fallegt líkan, kannski ein einfaldasta líkanið sem þú getur fundið upp. Undir lok doktorsnáms, sem hann lauk árið 2008, varð Nolin hrifinn af sérlega krefjandi spurningu um hvernig sexhyrnt rist við mikilvægar líkur hegða sér. Segjum að þú byggir rist í kringum miðpunkt, þannig að það nálgist hring, og þú byggir völundarhús þitt af handahófi þaðan. Nolin vildi kanna möguleikana á því að þú munt geta fundið opna slóð sem nær frá brúninni að miðjunni og aftur út, án þess að fara aftur á bak. Stærðfræðingar kalla þetta einlita tveggja arma leið, vegna þess að bæði inn og út „handleggir“ eru á opnum slóðum. (Stundum er jafngilt talið að slík rist séu gerð úr tveimur mismunandi litum, td ljósbláum og dökkbláum, frekar en úr opnum og lokuðum frumum.) Ef þú stækkar völundarhúsið mun lengd nauðsynlegrar slóðar vaxa líka. , og líkurnar á að finna slíka leið verða minni og minni. En hversu fljótt minnka líkurnar, þegar völundarhúsið verður geðþótta stórt?

Einfaldari tengdum spurningum var svarað fyrir áratugum. Útreikningar frá 1979 eftir Marcel den Nijs áætlað líkurnar á að þú getir fundið eina leið, eða arm, frá brúninni að miðjunni. (Brúið þessu saman við kröfu Nolins um að það sé einn armur inn og annar út.) Verk Den Nijs spáði því að líkurnar á að finna einn arm í sexhyrndu ristinni væru í réttu hlutfalli við $latex 1/n^{5/48}$ , hvar n er fjöldi flísa frá miðju að brún, eða radíus ristarinnar. Árið 2002, Gregory Lawler, Oded Schramm og Wendelin Werner loksins reynst að eins arms spáin hafi verið rétt. Til að mæla nákvæmlega minnkandi líkur eftir því sem stærð ristarinnar stækkar nota rannsakendur veldisvísirinn úr nefnara, 5/48, sem er þekktur sem einarma veldisvísirinn.

Nolin langaði til að reikna út hinn óviðráðanlega einlita tveggja arma veldisvísi. Tölulegar hermir árið 1999 sýndi að það var mjög nálægt 0.3568, en stærðfræðingum tókst ekki að ákvarða nákvæmlega gildi þess.

Það var miklu auðveldara að reikna út það sem er þekkt sem marglita tveggja arma veldisvísirinn, sem einkennir líkurnar á því að byrjað á miðjunni er ekki aðeins hægt að finna „opna“ leið að jaðrinum, heldur einnig sérstaka „lokaða“ leið. (Hugsaðu um lokaða stíginn sem þann sem liggur yfir toppa steyptra veggja völundarhússins.) Árið 2001, Stanislav Smirnov og Werner reynst að þessi veldisvísir væri 1/4. (Vegna þess að 1/4 er töluvert stærra en 5/48, þá minnkar $latex 1/n^{1/4}$ hraðar en $latex 1/n^{5/48}$ sem n vex. Líkurnar á fjöllita tveggja arma byggingu eru því mun minni en líkurnar á einum handlegg, eins og búast mátti við.)

Sú útreikningur hafði hallast að miklu leyti á þekkingu um lögun klasa á línuritinu. Ímyndaðu þér að völundarhús á mikilvægum líkum sé mjög stórt - samanstendur af milljónum og milljónum sexhyrninga. Finndu nú þyrping af tómum sexhyrningum og rakaðu brún þyrpingarinnar með þykkri svörtu Sharpie. Þetta mun líklega ekki leiða til einfaldrar, kringlóttrar kubbs. Frá kílómetra upp í loftið sérðu sveigjanlega feril sem sífellt tvöfaldast aftur, oft virðist eins og hún sé að fara yfir sig en er aldrei alveg að skuldbinda sig.

Þetta er tegund af feril sem kallast SLE ferill, kynntur af Schramm í a 2000 pappír sem endurskilgreindi sviðið. Stærðfræðingur sem rannsakar líkurnar á því að finna eina opna slóða og eina lokaða slóð veit að þær slóðir verða að sitja inni í stærri þyrpingum af opnum og lokuðum stöðum, sem að lokum mætast meðfram SLE feril. Stærðfræðilegir eiginleikar SLE ferla þýðast síðan í ómetanlegar upplýsingar um slóðir innan völundarhússins. En ef stærðfræðingar eru að leita að mörgum slóðum af sömu gerð, missa SLE ferillinn að miklu leyti af virkni sinni.

Árið 2007 höfðu Nolin og samstarfsmaður hans Vincent Beffara búið til tölulegar eftirlíkingar sem sýndu að einlita tveggja arma veldisvísirinn var um 0.35. Þetta var grunsamlega nálægt 17/48 — summa eins arma veldisvísisins, 5/48, og fjöllitna tveggja arma veldisvísisins, 1/4 (eða 12/48). „17/48 er virkilega sláandi,“ sagði Nolin. Hann fór að gruna að 17/48 væri hið sanna svar - sem þýðir að það var einfalt samband á milli mismunandi tegunda veldisvísis. Þú gætir bara bætt þeim saman. „Við sögðum, allt í lagi, það er of gott til að vera rangt; það verður að vera satt."

Um tíma varð ekkert úr tilgátum Nolin og Beffara, þó að Nolin hafi birt hana á vefsíðu sinni fyrir aðra til að vinna úr. Hann flutti til Hong Kong árið 2017 til að taka við prófessorsstöðu við City University of Hong Kong og hélt áfram að vinna í vandanum. Árið 2018 tók hann talsmann upp í samtali við Wei Qian, sem þá var nýdoktor við háskólann í Cambridge á Englandi. Qian var að rannsaka tilviljunarkennda rúmfræði í samfelldu frekar en stakri samhengi, með sérstakri áherslu á SLE ferla. Hún var í miðju verkefni sem notaði SLE til að reikna veldisvísa í annarri tegund af handahófskenndu líkani og Nolin fór að gruna að sérfræðiþekking hennar ætti einnig við um einlita tveggja arma veldisvísinn. Parið fann fljótlega einfalda jöfnu sem virtist sem lausnin myndi gefa veldisvísirinn, en sú jöfna byggði á millistærð sem tengdist bilinu sem er umlukið af SLE feril við jaðar ristarinnar. Nolin og Qian gátu ekki fest þá tölu niður.

„Ég gerði fullt af útreikningum, en ég gat samt ekki reiknað þessa eign,“ sagði Qian. „Mér tókst það ekki, svo ég hætti bara í einhvern tíma.“

„Við nefndum það aldrei við neinn vegna þess að við vorum ekki viss um hvort það væri gagnlegt eða ekki,“ bætti Nolin við.

The Backbone Exponent

Einliti tveggja arma veldisvísirinn er sérstaklega áhugaverður vegna þess að hann lýsir einnig „burðarás“ rists: safn sexhyrninga sem eru tengdir tveimur aðskildum armum sem ná til tveggja arma sem ekki skarast: einn að jaðri völundarhússins og einn til miðju þess. Þegar þessar síður eru litaðar inn mynda þær vef sem nær yfir allt ristið og er kallað burðarás. Þegar vísindamenn líkja eftir útbreiðslu sjúkdóma eða gljúpra bergmyndana er burðarásin hraðbraut sem örverur eða olía geta streymt eftir. Veldisvísirinn sem Nolin og Qian leitaði að sýnir stærð hryggjarins og er nefndur hryggjarliðsveldi.

Nolin og Qian voru ekki þeir einu á eftir burðarásinni. Xin Sun, sem þá var við háskólann í Pennsylvaníu, hafði einnig verið að reyna að reikna út veldisvísi. Undanfarin ár höfðu Sun og samstarfsaðilar, þar á meðal Nina Holden frá New York háskóla, fundið út leið til að rannsaka SLE ferla með tilviljunarkenndum brotaflötum. Þessir útbreiddu, bognu fletir eru með hnausóttum brúnum sem teygja sig inn í langar tendrs. Sumir punktar eru stutt frá nágrönnum sínum en aðrir eru mánaðarlangt ferðalag. Á ákveðnum stöðum eru þessi áhrif of mikil til að hægt sé að sjá þau fyrir sér. "Það er í rauninni ekki hægt að teikna það" alveg nákvæmlega, sagði Holden. „Þú þyrftir að teygja yfirborðið mikið.

Sumarið 2022 fékk Sun Zijie Zhuang, framhaldsnema á öðru ári, til að taka þátt í rannsókninni á tilviljanakenndu völundarhúsi við mikilvægar líkur. Þeir töldu tilviljunarkennd völundarhús þar sem sexhyrningarnir lágu á tilviljanakenndu brotafleti, í stað þess að vera á sléttu plani. Vegna þess að tilviljun ræður því hvar og hversu mikið yfirborðið er strekkt og þjappað hefur yfirborðið einstaka eiginleika. (Þessir eiginleikar gera slíka fleti einnig gagnlega fyrir eðlisfræðinga sem rannsaka líkön af skammtaþyngdarafl í tvívíðum alheimi og gefa þeim nafnið sitt: Liouville skammtaþyngdarfleti.) Til dæmis, ef þú tekur skæri á slíkan flöt, eru lögun tveir helmingar eru ekki háðir hvor öðrum. „Svona sjálfstæði einfaldar hlutina gríðarlega,“ sagði hann Scott Sheffield frá Massachusetts Institute of Technology. Þegar hlutirnir eru af handahófi veistu minna um þá, en það gæti þýtt minni upplýsingar til að gera leiðinlega grein fyrir.

Sun og Zhuang reyndu fyrst að ákvarða líkurnar á því að það væri opinn slóð sem tengir lítinn hring um miðju ristarinnar við stærri hring í kring. Eftir að þeir svöruðu þeirri spurningu lagði Sun til skref upp á metnaðinn: að reikna út líkurnar á því að það væru tvær leiðir sem tengdu saman hreiðruðu hringina, sem hefði gefið þeim leið til að reikna út veldisvísi. Fljótlega lentu þeir hins vegar í erfiðleikum. „Við reyndum þessa aðferð í nokkra mánuði, en útreikningurinn virðist ekki vera mjög viðráðanlegur,“ skrifaði Zhuang í tölvupósti.

Á meðan, þó að Nolin og Qian hafi ekki tekist að finna gildi veldisvísisins, tóku þeir framfarir á annan hátt. Qian tók sér frí frá starfi sínu við frönsku vísindarannsóknamiðstöðina og gekk til liðs við Nolin sem prófessor við City University of Hong Kong. (Þau giftu sig líka.) Sumarið 2021 rakst hún á nokkur blöð eftir Sun og samstarfsmenn hans sem vöktu áhuga hennar, svo þegar ferðatakmörkunum heimsfaraldurs var aflétt, skipulagði hún heimsókn í desember 2022 til Institute for Advanced Study í Princeton , New Jersey, þar sem Sun eyddi árinu.

Það reyndist arðbær heimsókn. Þegar Qian lýsti jöfnunni sem hún og Nolin höfðu fundið, fór Sun að hugsa um að hún gæti verið móttækileg fyrir tækni hans og Zhuang að leggja völundarhús á Liouville skammtaþyngdarflötum. „Þetta er hálfgerð tilviljun,“ sagði Sun. „Einn strákur er með lás, einn með lykil.

Zhuang var svolítið efins. „Við höfum engar spár og við vitum ekki einu sinni hvort formúlan muni hafa góða lausn,“ sagði hann og lýsti stöðu mála á þeim tíma. Sun og Zhuang eyddu næstu mánuðum með því að nota Liouville skammtaþyngdartækni sína - lykilinn - til að opna hið fáránlega magn í jöfnu Nolin og Qian frá árum áður - lásinn.

Eftir fjögurra mánaða vinnu höfðu Sun og Zhuang opnað myndlíkingalásinn. Sun sendi tölvupóst til Zhuang, Qian og Nolin, þar sem hún sagði: „Frábærar fréttir: Nákvæm formúla fyrir burðargetu. Svarið, komst hann að, var í meðallagi flókin tjáning ferningsróta og hornafræðilegs sinusfalls. Það var í samræmi við fyrri áætlanir, endalaus straumur af tölustöfum sem byrjar á 0.3566668.

Fjórmenningarnir breyttu verkum sínum í skriflega grein, fínpússuðu rökin þar til hugmyndir Nolin og Qian annars vegar, og Sun og Zhuang hins vegar, sameinuðust til að skapa sönnun þess að Sheffield, sem var doktorsráðgjafi Sun, kallaði „fögur gimsteinn.” „Sönnunarstefnan kemur örugglega á óvart og mjög frumleg, en svo þegar þú sérð hana þá er hún líka eitthvað sem finnst eðlilega,“ sagði Holden.

Nolin harmar grun sinn 2011 um að veldisvísirinn hafi verið nákvæmlega 17/48. „Við afvegaleiðum völlinn í nokkurn tíma. Ég er ekki mjög stoltur af því." Hryggjarliðsvísirinn er sláandi ólíkur fjöllita frændum sínum. Ekki aðeins er það óskynsamlegt, heldur er það líka yfirskilvitlegt, sem þýðir að eins og $latex pi$ og e, það er ekki hægt að skrifa hana sem lausn á einfaldri margliðujöfnu.

„Sönnunin útskýrir í raun ekki hvaðan þessi formúla kemur,“ sagði hann. „Við höfum verið að sýna eðlisfræðingum það og við hlökkum mjög til innsýnar þeirra.

Yfirskilvitlegt eðli burðarásarvaldsins vakti athygli annarra á þessu sviði. Gregory Huber frá Chan Zuckerberg Biohub, sem var meðhöfundur a framhaldsgrein um burðarásarvaldið, sagðist hann telja að niðurstaðan væri „fyrsta innsýn í nýja heimsálfu“ í tölfræðivélfræði. Þó að sameina SLE ferla og Liouville skammtaþyngdarafl sé afar tæknilegt, þá er skýra og einfalda tölulega svarið sem kom fram, skrifaði hann, „ótrúlega einfalt og glæsilegt.