Ini adalah pertandingan kejuaraan Imaginary Math League, di mana Atlanta Algebras akan menghadapi Carolina Cross Products. Kedua tim belum pernah bermain satu sama lain musim ini, namun di awal tahun Atlanta mengalahkan Brooklyn Bisectors dengan skor 10 banding 5, dan Brooklyn mengalahkan Carolina dengan skor 7 banding 3. Apakah itu memberi kita gambaran tentang siapa akan mengambil gelar itu?

Nah, inilah salah satu pemikirannya. Jika Atlanta mengalahkan Brooklyn, maka Atlanta lebih baik dari Brooklyn, dan jika Brooklyn mengalahkan Carolina, maka Brooklyn lebih baik dari Carolina. Jadi, jika Atlanta lebih baik dari Brooklyn dan Brooklyn lebih baik dari Carolina, maka Atlanta harus lebih baik dari Carolina dan memenangkan kejuaraan.

Jika Anda memainkan permainan atau olahraga kompetitif, Anda tahu bahwa memprediksi hasil pertandingan tidak pernah semudah ini. Namun dari sudut pandang matematis murni, argumen ini mempunyai daya tarik tertentu. Ini menggunakan ide penting dalam matematika yang dikenal sebagai transitivitas, sebuah properti familiar yang memungkinkan kita membangun rangkaian perbandingan antar hubungan. Transitivitas adalah salah satu sifat matematika yang sangat mendasar sehingga Anda mungkin tidak menyadarinya.

Misalnya, persamaan angka bersifat transitif. Artinya jika kita mengetahuinya a = b dan b = c, Kita dapat menyimpulkan bahwa a = c. Hubungan “lebih besar dari” juga bersifat transitif: Untuk bilangan real, jika a > b dan b > c, kemudian a > c. Ketika hubungan bersifat transitif, kita dapat membandingkan dan menggabungkannya, menciptakan urutan objek. Jika Anna lebih tinggi dari Benji dan Benji lebih tinggi dari Carl, maka kita dapat mengurutkan ketiganya berdasarkan tinggi badan mereka: A, B, C. Transitivitas juga berada di balik argumen naif kita bahwa jika A lebih baik dari B dan B lebih baik dari C, kemudian A lebih baik dari C.

Transitivitas hadir dalam kesetaraan, kongruensi, kesamaan, bahkan paralelisme. Itu adalah bagian dari semua matematika dasar yang kita lakukan, yang membuatnya sangat menarik secara matematis jika tidak ada. Ketika para analis memberi peringkat pada tim, ekonom mempelajari preferensi konsumen, atau masyarakat memberikan suara pada kandidat pilihan mereka, kurangnya transitivitas dapat memberikan hasil yang mengejutkan. Untuk lebih memahami sistem semacam ini, ahli matematika telah mempelajari “dadu intransitif” selama lebih dari 50 tahun, dan a makalah baru-baru dari kolaborasi matematika online yang dikenal sebagai proyek Polymath telah mengembangkan pemahaman tersebut. Untuk memahami seperti apa bentuk dan rasanya intransitivitas, mari kita membentuk liga kita sendiri dan bermain-main.

Di liga matematika baru kami, pemain bersaing dengan melempar koin khusus dan membandingkan hasilnya. Katakanlah pemain A memiliki koin dengan nomor 10 di satu sisi dan nomor 6 di sisi lain, dan pemain BKoinnya mempunyai angka 8 dan 3. Kita asumsikan bahwa koin-koin tersebut adil — artinya masing-masing sisi memiliki kemungkinan yang sama untuk muncul ketika koin dibalik — dan kita akan mewakili angka-angka pada koin seperti ini.

Dalam permainan, pemain melempar koinnya, dan siapa pun yang koinnya menunjukkan angka lebih tinggi adalah pemenangnya. Siapa yang akan menang kapan A memainkan B?

Tentu saja itu tergantung. Kadang-kadang A kadang-kadang akan menang B akan menang. Namun tidak sulit untuk melihatnya A diunggulkan untuk menang melawan B. Ada empat cara permainan ini bisa berlangsung, dan A menang dalam tiga di antaranya.

Jadi dalam permainan A lawan B, A mempunyai peluang menang sebesar 75%.

Sekarang C datang dan tantangan B ke sebuah permainan. CKoinnya mempunyai angka 5 di satu sisi dan angka 4 di sisi lainnya. Sekali lagi ada empat kemungkinan.

Sini B dan C masing-masing memenangkan dua dari empat pertarungan, sehingga mereka masing-masing akan memenangkan 50% permainan. B dan C seimbang.

Sekarang, apa yang Anda harapkan akan terjadi kapan A dan C bermain? Dengan baik, A biasanya berdetak B, dan B dicocokkan secara merata C, jadi tampaknya masuk akal untuk mengharapkan hal itu A mungkin akan diunggulkan C.

Tapi A lebih dari sekedar favorit. A mendominasi C, menang 100% sepanjang waktu.

Hal ini mungkin tampak mengejutkan, namun secara matematis tidak sulit untuk mengetahui mengapa hal ini terjadi. Cnomornya ada di antara keduanya Bitu, jadi C menang kapan saja B membalik angka yang lebih rendah. Tetapi Cnomor keduanya ada di bawah Aitu, jadi C tidak akan pernah memenangkan pertarungan itu. Contoh ini tidak melanggar gagasan transitivitas, namun menunjukkan bahwa segala sesuatunya mungkin lebih rumit dari sekadar A > B > C. Sedikit perubahan pada permainan kami menunjukkan betapa rumitnya permainan ini.

Pesaing kami cepat bosan dengan permainan melempar koin dua sisi, karena permainan ini mudah dipahami sepenuhnya secara matematis (lihat latihan di akhir kolom untuk lebih jelasnya), sehingga liga memutuskan untuk meningkatkan ke koin tiga sisi. (Salah satu keuntungan bermain dalam liga matematika imajiner adalah segala sesuatu mungkin terjadi.)

Berikut adalah A dan Bkoin:

Siapa yang diunggulkan dalam pertandingan antara A dan B? Ada tiga hasil untuk Alemparan koin dan tiga kali untuk B, menghasilkan sembilan kemungkinan hasil permainan yang dapat kita petakan dengan mudah.

Dengan asumsi lagi bahwa semua hasil mempunyai kemungkinan yang sama, A ketukan B dalam lima dari sembilan hasil. Ini berarti A harus memenangkan $latex frac{5}{9} kira-kira$55% setiap saat, jadi A diunggulkan melawan B.

Merasa sedikit sedih tentang prospek mereka, B tantangan C ke sebuah permainan. Cnomornya ditunjukkan di bawah ini. Apakah Anda suka Bpeluangnya?

Sekali lagi, ada sembilan kemungkinan hasil dalam permainan B lawan C, jadi kita bisa mencantumkannya saja.

Kita bisa melihatnya B terlihat cukup bagus melawannya C. Dalam lima dari sembilan kemungkinan hasil, B menang. Jadi B diunggulkan melawan C.

Tidak baik C sekarang harus bermain A. Dengan A diunggulkan melawan B dan B diunggulkan melawan C, apa yang terjadi pada kesempatan itu C harus menang? Ternyata cukup bagus.

Dalam lima dari sembilan kemungkinan hasil di sini, C ketukan A. Ini artinya C diunggulkan melawan Ameskipun demikian Adiunggulkan melawan B dan B diunggulkan melawan C.

Ini adalah contoh sistem intransitif. Dalam istilah yang lebih teknis, hubungan “diunggulkan” dalam permainan kita tidak bersifat transitif: A diunggulkan melawan B, dan B diunggulkan melawan C, tapi A belum tentu disukai C.

Kita jarang melihatnya dalam matematika, tapi perilaku seperti ini tidak akan mengejutkan penggemar olahraga. Jika Raksasa mengalahkan Elang dan Elang mengalahkan Koboi, Koboi masih bisa mengalahkan Raksasa. Ada banyak faktor yang berkontribusi terhadap hasil permainan individu. Tim bisa menjadi lebih baik dengan latihan atau mengalami stagnasi jika mereka tidak berinovasi. Pemain dapat berganti tim. Detail seperti lokasi pertandingan — di kandang atau tandang — atau seberapa baru tim bermain dapat memengaruhi siapa yang menang dan siapa yang kalah.

Namun contoh sederhana ini menunjukkan bahwa ada alasan matematis di balik intransitivitas semacam ini juga. Dan pertimbangan matematis murni ini memiliki kesamaan dengan batasan persaingan di dunia nyata: pertarungan.

Berikut adalah angka-angkanya A, B dan C.

Ketika kita melihatnya secara berdampingan, akan lebih mudah untuk melihat mengapa intransitivitas terjadi dalam situasi ini. Meskipun B diunggulkan untuk menang melawan C, CDua angka sedang-tinggi — 7 dan 6 — memberi mereka keuntungan A bahwa B tidak punya. Meskipun A diunggulkan melawan B dan B diunggulkan melawan C, C cocok melawan A lebih baik dari B melakukan. Hal ini mirip dengan bagaimana tim olahraga yang tidak diunggulkan dapat bersaing dengan baik melawan lawan yang lebih unggul karena gaya permainan mereka sulit untuk ditangani oleh tim tersebut, atau karena pemain atau pelatih memberi mereka keunggulan melawan lawan tersebut.

Fakta bahwa olahraga bersifat intransitif adalah salah satu hal yang menjadikannya menyenangkan dan menarik. Lagi pula, jika A ketukan B dan B ketukan C, C tidak akan kalah begitu saja karena transitivitas saat mereka berhadapan A. Dalam kompetisi, apapun bisa terjadi. Seperti yang dikatakan banyak komentator setelah kesal, “Itulah sebabnya mereka memainkan permainan ini.”

Dan itulah mengapa kami bermain-main dengan matematika. Untuk menemukan apa yang menyenangkan, menarik, dan mengejutkan. Segalanya bisa terjadi.

Latihan

1. Misalkan dua pemain memainkan permainan koin dua sisi, dan empat angka dari kedua koin tersebut semuanya berbeda. Pada dasarnya hanya ada enam kemungkinan skenario siapa yang menang dan seberapa sering. Apakah mereka?

2. Dalam skenario permainan tiga sisi yang dijelaskan di atas, temukan koin tiga sisi yang berbeda C sehingga B masih diunggulkan C dan C masih diunggulkan A.

3. Buktikan bahwa dalam permainan koin dua sisi, tidak mungkin ada tiga pemain A, B, C seperti yang A diunggulkan melawan B, B diunggulkan melawan C, dan C diunggulkan melawan A.