Kyseessä on Imaginary Math Leaguen mestaruusottelu, jossa Atlanta Algebras kohtaa Carolina Cross Productsin. Joukkueet eivät ole pelanneet keskenään tällä kaudella, mutta aiemmin tänä vuonna Atlanta voitti Brooklyn Bisectorsin luvuin 10-5 ja Brooklyn voitti Carolinan 7-3. Antaako tämä meille käsityksen siitä, kuka viekö tittelin?

No, tässä yksi ajatuslinja. Jos Atlanta voitti Brooklynin, Atlanta on parempi kuin Brooklyn, ja jos Brooklyn voitti Carolinan, Brooklyn on parempi kuin Carolina. Joten jos Atlanta on parempi kuin Brooklyn ja Brooklyn on parempi kuin Carolina, Atlantan pitäisi olla parempi kuin Carolina ja voittaa mestaruus.

Jos pelaat kilpailupelejä tai urheilua, tiedät, että ottelun lopputuloksen ennustaminen ei ole koskaan näin yksinkertaista. Mutta puhtaasti matemaattisesta näkökulmasta tämä argumentti houkuttelee. Se käyttää tärkeää matematiikan ideaa, joka tunnetaan transitiivisuutena, tuttu ominaisuus, jonka avulla voimme rakentaa vertailujonoja suhteiden välillä. Transitiivisuus on yksi niistä matemaattisista ominaisuuksista, jotka ovat niin perustavia, että et ehkä edes huomaa sitä.

Esimerkiksi lukujen yhtäläisyys on transitiivinen. Tämä tarkoittaa, että jos tiedämme sen a = b ja b = c, voimme päätellä sen a = c. "Suurempi kuin" -suhde on myös transitiivinen: Reaaliluvuille, jos a > b ja b > c, sitten a > c. Kun suhteet ovat transitiivisia, voimme verrata ja yhdistää niitä luoden objektien järjestyksen. Jos Anna on pidempi kuin Benji ja Benji on pidempi kuin Carl, voimme järjestää nämä kolme pituuden mukaan: A, B, C. Transitiivisuus on myös naiivin argumenttimme takana, että jos A on parempi kuin B ja B on parempi kuin C, sitten A on parempi kuin C.

Transitiivisuus on läsnä tasa-arvossa, kongruenssissa, samankaltaisuudessa, jopa rinnakkaisuudessa. Se on osa kaikkea tekemäämme perusmatematiikkaa, mikä tekee siitä erityisen matemaattisesti mielenkiintoisen, kun sitä ei ole olemassa. Kun analyytikot asettavat ryhmiä paremmuusjärjestykseen, ekonomistit tutkivat kuluttajien mieltymyksiä tai kansalaiset äänestävät haluamiaan ehdokkaita, transitiivisuuden puute voi johtaa yllättäviin tuloksiin. Ymmärtääkseen paremmin tällaisia ​​järjestelmiä matemaatikot ovat tutkineet "intransitiivisia noppaa" yli 50 vuoden ajan. viime paperi Polymath-projektina tunnettu online-matemaattinen yhteistyö on edistänyt tätä ymmärrystä. Saadaksemme käsityksen siitä, miltä intransitiivisuus näyttää ja tuntuu, muodostetaan oma liigamme ja leikitään.

Uudessa matematiikan liigassamme pelaajat kilpailevat heilauttamalla mukautettuja kolikoita ja vertaamalla tuloksia. Sanotaan vaikka pelaaja A on kolikko, jonka toisella puolella on numero 10 ja toisella puolella numero 6, ja pelaaja BKolikossa on numerot 8 ja 3. Oletetaan, että kolikot ovat reiluja – mikä tarkoittaa, että jokainen puoli tulee yhtä todennäköisesti näkyviin, kun kolikot käännetään – ja esitämme kolikoiden numerot näin.

Pelissä pelaajat heittävät kolikoitaan, ja se, jonka kolikko näyttää suuremman numeron, on voittaja. Kuka voittaa milloin A soittaa B?

Tietysti se riippuu. Joskus A voittaa joskus B voittaa. Mutta sitä ei ole vaikea nähdä A voittaa vastaan B. Peli voi kehittyä neljällä tavalla, ja A voittaa niistä kolmessa.

Joten pelissä A vastaan B, A on 75% mahdollisuus voittaa.

Nyt C tulee mukaan ja haasteita B peliin. CKolikon toisella puolella on 5 ja toisella 4. Jälleen on neljä vaihtoehtoa.

Tässä B ja C kumpikin voittaa kaksi neljästä ottelusta, joten kukin voittaa 50 % peleistä. B ja C ovat tasaisesti yhteensopivia.

Mitä nyt odotat tapahtuvan milloin A ja C pelata? Hyvin, A yleensä lyö Bja B sopii tasaisesti C, joten vaikuttaa kohtuulliselta odottaa sitä A todennäköisesti suositaan C.

Mutta A on enemmän kuin suosikki. A hallitsee C, voittaa 100% ajasta.

Tämä saattaa tuntua yllättävältä, mutta matemaattisesti ei ole vaikea ymmärtää, miksi niin tapahtuu. Cnumerot ovat siinä välissä B's, niin C voittaa milloin tahansa B kääntää niiden pienemmän numeron. Mutta CMolemmat numerot ovat alla A's, niin C ei koskaan voita sitä ottelua. Tämä esimerkki ei riko transitiivisuuden ajatusta, mutta se osoittaa, että asiat voivat olla monimutkaisempia kuin vain A > B > C. Pieni muutos peliimme osoittaa, kuinka paljon monimutkaisempi se voi olla.

Kilpailijamme kyllästyvät nopeasti kaksipuoliseen kolikoiden heittelypeliin, sillä se on helppo ymmärtää täysin matemaattisesti (katso tarkemmat tiedot palstan lopussa olevista harjoituksista), joten liiga päättää päivittää kolmipuolisiin kolikoihin. (Yksi kuvitteellisessa matemaattisessa liigassa pelaamisen eduista on, että kaikki on mahdollista.)

Tässä on A ja Bkolikot:

Ketä suositaan välisessä pelissä A ja B? No, sillä on kolme tulosta A's kolikonheitto ja kolme puolesta B, mikä johtaa yhdeksään mahdolliseen pelitulokseen, jotka voimme helposti kartoittaa.

Olettaen jälleen, että kaikki tulokset ovat yhtä todennäköisiä, A lyöntiä B viidessä yhdeksästä tuloksesta. Tämä tarkoittaa A pitäisi voittaa $lateksifrac{5}{9} noin 55 % ajasta, joten A on suositeltu vastaan B.

Tuntuu hieman masentuneelta heidän mahdollisuuksistaan, B haasteet C peliin. Cn numerot näkyvät alla. Pidätkö Bmahdollisuudet?

Jälleen pelissä on yhdeksän mahdollista lopputulosta B vastaan C, joten voimme vain luetella ne.

Me voimme nähdä sen B näyttää hyvältä vastaan C. Viidessä yhdeksästä mahdollisesta tuloksesta B voittaa. Niin B on suositeltu vastaan C.

Huono C nyt pitää pelata A. Kanssa A kannattanut vastaan B ja B kannattanut vastaan C, mitä mahdollisuus tekee C täytyy voittaa? Aika hyvä sellainen, kuten käy ilmi.

Viidessä tässä yhdeksästä mahdollisesta tuloksesta C lyöntiä A. Se tarkoittaa, että C on suositeltu vastaan A, vaikkakin Aon suositeltu vastaan B ja B on suositeltu vastaan C.

Tämä on esimerkki intransitiivisesta järjestelmästä. Teknisemmin sanottuna suhde "suosittu vastaan" pelissämme ei ole transitiivinen: A on suositeltu vastaan Bja B on suositeltu vastaan C, Vaan A sitä ei välttämättä suosita C.

Emme näe sitä usein matematiikassa, mutta tällainen käytös ei yllättäisi urheilun ystäviä. Jos Giants voitti Eagles ja Eagles voitti Cowboys, Cowboys voisi silti hyvin voittaa Giants. On monia tekijöitä, jotka vaikuttavat yksittäisen pelin lopputulokseen. Joukkueet voivat parantaa harjoittelua tai pysähtyä, jos ne eivät innovoi. Pelaajat voivat vaihtaa joukkuetta. Yksityiskohdat, kuten pelin sijainti – kotona tai vieraissa – tai kuinka viime aikoina joukkueet ovat pelanneet, voivat vaikuttaa siihen, kuka voittaa ja kuka häviää.

Mutta tämä yksinkertainen esimerkki osoittaa, että tällaisen intransitiivisuuden takana on myös puhtaasti matemaattisia syitä. Ja tällä puhtaasti matemaattisella pohdinnalla on jotain yhteistä todellisten kilpailun rajoitusten kanssa: matchups.

Tässä ovat numerot A, B ja C.

Kun tarkastelemme niitä vierekkäin, on helpompi ymmärtää, miksi tässä tilanteessa tapahtuu intransitiivisuutta. Siitä huolimatta B voittaa vastaan C, Ckaksi keskikorkeaa numeroa – 7 ja 6 – antavat heille etulyöntiaseman A että B ei ole. Vaikkakin A on suositeltu vastaan B ja B on suositeltu vastaan C, C otteluita vastaan A parempi B tekee. Tämä on samanlainen tapa kuin altavastaava urheilujoukkue saattaa kohtaa hyvin ylivoimaista vastustajaa vastaan, koska hänen pelityylinsä on vaikea hallita kyseisen joukkueen tai koska pelaaja tai valmentaja antaa heille etulyöntiä kyseistä vastustajaa vastaan.

Se, että urheilu on välitöntä, on osa sitä, mikä tekee niistä hauskoja ja houkuttelevia. Loppujen lopuksi jos A lyöntiä B ja B lyöntiä C, C ei mene vain transitiivisuuden vuoksi, kun he kohtaavat A. Kilpailussa voi tapahtua mitä tahansa. Kuten monet kommentaattorit ovat sanoneet järkyttyneenä: "Siksi he pelaavat peliä."

Ja siksi leikitään matematiikalla. Löytää, mikä on hauskaa, houkuttelevaa ja yllättävää. Mitä tahansa voi tapahtua.

Harjoitukset

1. Oletetaan, että kaksi pelaajaa pelaa kaksipuolisen kolikon peliä, ja näiden kahden kolikon neljä numeroa ovat kaikki erilaisia. On periaatteessa vain kuusi mahdollista skenaariota sille, kuka voittaa ja kuinka usein. Mitä ne ovat?

2. Etsi yllä kuvatussa kolmipuolisessa pelissä eri kolmipuolinen kolikko C niin että B on edelleen suosiossa C ja C on edelleen suosiossa A.

3. Todista, että kaksipuolisessa kolikossa on mahdotonta olla kolme pelaajaa A, B, C niin että A on suositeltu vastaan B, B on suositeltu vastaan Cja C on suositeltu vastaan A.