Meillä on tapana ajatella matematiikkaa puhtaasti loogisena, mutta matematiikan opetus, sen arvot, hyödyllisyys ja toiminta ovat täynnä vivahteita. Mitä on "hyvä" matematiikka? Vuonna 2007 matemaatikko Terence tao kirjoitti esseen American Mathematical Societyn tiedote joka yritti vastata tähän kysymykseen. Nykyään Fields-mitalin, matematiikan läpimurtopalkinnon ja MacArthur-stipendin saajana Tao on yksi arvostetuimmista ja tuotteliaimmista matemaatikoista. Tässä jaksossa hän liittyy isäntämme ja matemaatikkotoveriimme Steven Strogatz tarkastella uudelleen hyvän matematiikan ominaisuuksia.

Kuuntele Apple Podcastit, Spotify, Google Podcastit, nitoja, Kääntää tai suosikki podcasting-sovelluksesi, tai voit suoratoista se osoitteesta Quanta.

Jäljennös

STEVEN STROGATZ: Lokakuussa 2007, silloin, kun ensimmäisen sukupolven iPhone oli vielä kuuma hyödyke ja osakemarkkinat olivat kaikkien aikojen huipulla ennen suurta taantumaa, Terence Tao, UCLA:n matematiikan professori, päätti vastata kysymykseen Kysymys, josta oli pitkään keskusteltu matemaatikoiden keskuudessa: Mitä tarkalleen ottaen on hyvä matematiikka?

Onko kyse kurinalaisuudesta? Eleganssi? Tosimaailman apuohjelma? Terry kirjoitti erittäin harkitun ja anteliaan, sanoisin jopa avoimen esseen kaikista tavoista, joilla matematiikka voi olla hyvää. Mutta nyt, yli 15 vuotta myöhemmin, täytyykö meidän miettiä uudelleen, mitä hyvä matematiikka on?

Olen Steve Strogatz, ja tämä on "The Joy of Why", podcast Quanta-lehti jossa tutkimme vuorotellen isäntätoverini Janna Levinin kanssa joitain tämän hetken suurimmista matematiikan ja luonnontieteiden vastattomista kysymyksistä.

(Teemapelit)

Terry Tao itse pohtii tänään ikuista kysymystä siitä, mikä tekee matematiikasta hyvää. Professori Tao on kirjoittanut yli 300 tutkimusta hämmästyttävän laajasta matematiikan joukosta, mukaan lukien harmoninen analyysi, osittaiset differentiaaliyhtälöt, kombinatoriikka, lukuteoria, datatiede, satunnaismatriisit ja paljon muuta. Häntä on kutsuttu "matematiikan Mozartiksi". Ja Fields-mitalin, matematiikan läpimurtopalkinnon, MacArthur-stipendin ja monien muiden palkintojen voittajana tämä nimimerkki on varmasti hyvin ansaittu.

Terry, tervetuloa The Joy of Why -sarjaan.

TERENCE TAO: Ilo olla täällä.

STROGATZ: Olen erittäin innoissani voidessani keskustella kanssasi tästä kysymyksestä, mikä tekee tietyntyyppisistä matemaattisista tutkimuksista hyvää. Muistan melko elävästi selailleni American Math Societyn tiedote vuonna 2007 ja tulee vastaan esseesi tästä aiheesta että poseerasit meille. Se on asia, jota kaikki matemaatikot ajattelevat. Mutta voitteko kertoa meille ihmisille, jotka eivät ehkä ole niin tuttuja, kuinka päädyitte tähän kysymykseen? Miten määritit hyvän matematiikan tuolloin?

TAO: Aivan, kyllä. Se oli itse asiassa pyyntö. Joten toimittaja tiedotuslehti oli tuolloin pyytänyt minua osallistumaan artikkeliin. Luulen, että minulla oli hyvin naiivi käsitys siitä, mitä matematiikka on opiskelijana. Minulla oli sellainen ajatus, että on olemassa jonkinlainen harmaapartaneuvosto, joka jakaisi ongelmia ihmisten työstettäväksi. Ja se oli eräänlainen shokki minulle jatko-opiskelijana, kun tajusin, ettei ollut olemassa tätä keskusviranomaista, joka jakaisi ongelmia, ja ihmiset tekivät itseohjautuvaa tutkimusta.

Kävin jatkuvasti keskusteluissa ja kuuntelin, kuinka muut matemaatikot puhuivat siitä, mikä heidän mielestään kiinnostaa ja mikä saa heidät innostumaan matematiikasta, ja siitä, että jokaisella matemaatikolla on erilainen tapa lähestyä matematiikkaa. Jotkut tavoittelevat sovelluksia, jotkut esteettisen kauneuden perusteella, jotkut vain ongelmanratkaisun avulla. He halusivat ratkaista ongelman ja keskittyä tavallaan vaikeimpiin, haastavimpiin tehtäviin. Jotkut keskittyisivät tekniikkaan; jotkut yrittäisivät tehdä asioista mahdollisimman tyylikkäitä.

Mutta mikä minuun hämmästytti kuunnellessani niin monia näistä erilaisista matemaatikoista puhuvan siitä, mitä he pitävät arvokkaana matematiikassa, on se, että vaikka meillä kaikilla oli erilaisia ​​ihanteita siitä, miltä hyvän matematiikan pitäisi näyttää, heillä kaikilla on tapana lähentyä samaan asiaan.

Jos matematiikan pala on todella hyvä, ihmiset, jotka tavoittelevat kauneutta, tulevat lopulta sen yli. Ihmiset, jotka tavoittelevat ja arvostavat teknistä voimaa tai sovelluksia, osuvat lopulta siihen.

Eugene Wigner oli hyvin kuuluisa essee aiheesta matematiikan kohtuuton tehokkuus fysikaalisissa tieteissä melkein sata vuotta sitten, kun hän juuri havaitsi, että matematiikan osa-alueita - esimerkiksi Riemannin geometria, kaarevan avaruuden tutkimus -, joka oli alun perin vain puhtaasti teoreettinen harjoitus matemaatikoille, jotka yrittivät todistaa rinnakkaispostulaatti ja niin edelleen, mikä osoittautui juuri sellaiseksi, mitä Einstein, Poincaré ja Hilbert tarvitsivat kuvaamaan yleisen suhteellisuusteorian matematiikkaa. Ja se on vain ilmiö, joka tapahtuu.

Kyse ei siis ole vain siitä, että matematiikassa [mitä] matemaatikot pitävät älyllisesti mielenkiintoisena, se on lopulta fyysisesti tärkeää. Mutta jopa matematiikassa matemaatikoiden tyylikkäinä pitämät aiheet tarjoavat myös syvällistä näkemystä.

Minusta tuntuu, että siellä on platonista hyvää matematiikkaa, ja kaikki erilaiset arvojärjestelmämme ovat vain erilaisia ​​tapoja päästä käsiksi tuohon objektiiviseen hyvään asiaan.

STROGATZ: Se on erittäin mielenkiintoista. Koska olen itsekin taipuvainen platoniseen ajatteluun, minulla on houkutus suostua. Vaikka olenkin hieman yllättynyt kuullessani sinun sanovan niin, koska olisin luullut, että mihin olet menossa alun perin tuntui olevan, kuten, että tästä on niin monia eri näkökulmia. On kuitenkin mielenkiintoinen tosiasia, tavallaan empiirinen tosiasia, että me lähennämme samaa mieltä siitä, mikä on hyvää tai ei hyvää, vaikka, kuten sanot, tulemme siihen niin monista eri arvoista.

TAO: Aivan. Lähentyminen voi viedä aikaa. Tiedäthän, joten varmasti on esimerkiksi kenttiä, joissa ne näyttävät paljon paremmilta yhdellä mittarilla mitattuna kuin muut. Kuten ehkä heillä on paljon sovelluksia, mutta niiden esitys on erittäin inhottavaa.

(Strogatz nauraa)

Tai asioita, jotka ovat erittäin tyylikkäitä, mutta joilla ei vielä ole paljon hyviä sovelluksia todellisessa maailmassa. Mutta minusta tuntuu, että lopulta se lähentyy.

STROGATZ: No, sallikaa minun kysyä sinulta tästä kontaktipisteestä todellisen maailman kanssa. Se on mielenkiintoinen jännitys matematiikassa. Ja kuten pieninä lapsina, kun opimme geometriaa, saatat ajatella siinä vaiheessa, että kolmiot ovat todellisia tai ympyrät tai suorat ovat todellisia ja että ne voivat kertoa sinulle näkemistäsi suorakaiteen muodoista. rakennuksissa eri puolilla maailmaa, tai katsastajien on käytettävä geometriaa. Ja loppujen lopuksi sana tulee Maan mittauksesta, oikein, "geometria". Ja niin, oli aika, jolloin geometria oli empiiristä.

Mutta se, mitä halusin kysyä, liittyy siihen kommenttiin John von Neumann tehty. Joten von Neumann, kaikille tuntemattomille, oli itse suuri matemaatikko. Ja hän kommentoi tässä esseessä: "Matemaatikko”, matematiikan ja empiirisen maailman, reaalimaailman, välisestä suhteesta, jossa hän sanoo karkeasti, että matemaattiset ideat ovat peräisin empiiristä, mutta jossain vaiheessa, kun saat matemaattiset ideat, kohde alkaa elää omaa elämäänsä. oma. Ja sitten se on enemmän kuin luova taideteos. Esteettiset kriteerit ovat tärkeitä. Mutta hän sanoo, että se aiheuttaa vaaraa. Että kun subjekti alkaa etääntyä liian kauas empiirisestä lähteestään, kuten varsinkin toisessa tai kolmannessa sukupolvessaan, hän sanoo, että on mahdollista, että subjekti voi kärsiä liian abstraktista sukusiitosta ja se on vaarassa rappeutua.

Onko ajatuksia siitä? Tarkoitan, pitääkö matematiikan olla yhteydessä empiiriseen lähteeseensä?

TAO: Kyllä, mielestäni sen täytyy olla maadoitettu. Kun sanon, että empiirisesti kaikki nämä erilaiset tavat tehdä matematiikkaa lähentyvät, se johtuu vain siitä, että tämä tapahtuu vain, kun kohde on terve. Hyvä uutinen on, että yleensä se on.

Mutta esimerkiksi matemaatikot arvostavat lyhyitä todisteita pitkiin, kun kaikki muut asiat ovat samat. Mutta voitaisiin kuvitella, että ihmiset menevät yli laidan ja, kuten yksi matematiikan osa-alue, on pakkomielle tehdä todisteista mahdollisimman lyhyitä ja heillä on nämä äärimmäisen läpinäkymättömät syvien lauseiden kaksiriviset todisteet. Ja he tekevät siitä eräänlaisen tämän kilpailun, ja sitten siitä tulee tällainen järjetön peli ja sitten menetät kaiken intuition. Menetät ehkä syvemmän ymmärryksen, koska olet vain niin pakkomielle tehdä kaikki todisteesi mahdollisimman lyhyinä. Nyt näin ei käytännössä tapahdu. Mutta tämä on eräänlainen teoreettinen esimerkki, ja luulen, että von Neumann esitti saman asian.

Ja 1960- ja 1970-luvuilla oli matematiikan aikakausi, jolloin abstraktio eteni valtavia harppauksia yksinkertaistaessaan ja yhdistäessään monia aiemmin hyvin empiiristä matematiikkaa. Varsinkin algebrassa ihmiset ymmärsivät, tiedäthän, numerot ja polynomit ja monet muut kohteet, joita oli aiemmin käsitelty erikseen, voitte kaikki ajatella niitä saman algebrallisen luokan jäseninä, tässä tapauksessa renkaana.

Ja paljon edistystä matematiikassa saavutettiin etsimällä oikea abstraktio, olipa kyseessä topologinen avaruus tai vektoriavaruus, mikä tahansa, ja todistamalla lauseita suurella yleisellä tasolla. Ja tätä kutsutaan joskus Bourbakin aikakaudeksi matematiikassa. Ja se poikkesi hieman liian kauas maadoituksesta.

Meillä oli tietysti koko New Math -jakso Yhdysvalloissa, missä opettajat yrittivät opettaa matematiikkaa Bourbaki-tyyliin ja lopulta tajusin, että se ei ollut sopivaa pedagogiikkaa sillä tasolla.

Mutta nyt heiluri on heilunut hieman taaksepäin. Meillä on tavallaan — aihe on kypsynyt melkoisesti ja kaikilla matematiikan, geometrian, topologian, mitä tahansa, meillä on tyydyttävät formalisaatiot ja me tavallaan tiedämme, mitkä ovat oikeat abstraktiot. Ja nyt ala keskittyy jälleen yhteenliitäntöihin ja sovelluksiin. Se yhdistää nyt paljon enemmän todelliseen maailmaan.

Tarkoitan, ei vain eräänlaista fysiikkaa, joka on perinteinen yhteys, vaan tietotekniikkaa, biotieteitä, yhteiskuntatieteitä. Big datan nousun myötä melkein mikä tahansa ihmisen tieteenala voidaan nyt matemaattistaa jossain määrin.

STROGATZ: Olen erittäin kiinnostunut sanasta, jota käytit hetki sitten "yhteisliitännöistä", koska se näyttää olevan keskeinen asia, josta voimme keskustella. Mainitset esseessäsi sen, että mainitset näiden "paikallisten" kriteerien ohella eleganssia tai todellisia sovelluksia tai mitä tahansa, mainitset tämän hyvän matematiikan "globaalin" puolen: että hyvä matematiikka yhdistää muihin hyvää matematiikkaa.

Se on melkein avain siihen, mikä tekee siitä hyvän, että se on integroitu muihin osiin. Mutta se on mielenkiintoista, koska se kuulostaa melkein pyöreältä päättelyltä: että hyvä matematiikka on matematiikkaa, joka liittyy muuhun hyvään matematiikkaan. Mutta se on todella voimakas idea, ja mietin vain, voisitko laajentaa sitä hieman enemmän.

TAO: Joo, tarkoitan siis sitä, mistä matematiikassa on kyse - yksi matematiikan asioista on se, että se muodostaa yhteyksiä, jotka ovat hyvin perustavanlaatuisia, mutta eivät ilmeisiä, jos katsot sitä vain pintatasolta. Hyvin varhainen esimerkki tästä on Descartesin keksintö karteesisista koordinaateista, jotka loivat perustavanlaatuisen yhteyden geometrian — pisteiden ja suorien ja tilaobjektien tutkimuksen — ja numeroiden, algebran välille.

Joten esimerkiksi ympyrä, jota voit ajatella geometrisena esineenä, mutta voit myös ajatella sitä yhtälönä: x² + y² = 1 on ympyrän yhtälö. Siihen aikaan se oli hyvin vallankumouksellinen yhteys. Tiedätkö, muinaiset kreikkalaiset pitivät lukuteoriaa ja geometriaa lähes täysin erillään olevina aiheina.

Mutta Descartesin kanssa oli tämä perustavanlaatuinen yhteys. Ja nyt se on sisäistetty; tapa, jolla opetamme matematiikkaa. Ei ole enää yllättävää, että jos sinulla on geometrinen ongelma, hyökkäät sen kimppuun numeroilla. Tai jos sinulla on ongelmia numeroiden kanssa, voit hyökätä sitä geometrialla.

Se johtuu osittain siitä, että sekä geometria että luvut ovat saman matemaattisen käsitteen aspekteja. Meillä on kokonainen kenttä nimeltä algebrallinen geometria, joka ei ole algebraa eikä geometriaa, vaan se on yhtenäinen oppiaine, joka tutkii objekteja, joita voit ajatella joko geometrisiksi muodoiksi, kuten viivoiksi ja ympyröiksi ja niin edelleen, tai yhtälöiksi.

Mutta todella, se on näiden kahden kokonaisvaltainen liitto, jota tutkimme. Ja kun aihe on syventynyt, olemme ymmärtäneet, että se on jollain tapaa perustavanlaatuisempaa kuin joko algebra tai geometria erikseen. Joten nämä yhteydet auttavat meitä löytämään sellaisen todellisen matematiikan, joka alun perin jollakin tavalla empiiriset tutkimuksemme antavat meille vain kulman aiheesta.

Siellä on tämä kuuluisa vertaus norsusta, unohdan missä, että jos sinulla on… On neljä sokeaa, ja he löytävät norsun. Ja yksi heistä tuntee norsun jalkaa ja ajattelee: "Voi, tämä on hyvin karkeaa. Sen täytyy olla kuin puu tai jotain."

Ja yksi heistä tuntee rungon, ja vasta paljon myöhemmin he näkevät, että siellä on yksi norsu, joka selittää kaikki heidän erilliset hypoteesinsa. Niin, joten olemme kaikki aluksi sokeita. Katsomme vain varjoja Platonin luolassa ja ymmärrämme vasta myöhemmin -

STROGATZ: Vau, olet hyvin filosofinen täällä. Tämä on jotain. En voi vastustaa nyt: Jos aiot alkaa puhua norsusta ja sokeista, tämä viittaa siihen, että luulet matematiikan olevan olemassa – että se on jotain kuin norsu ja että me olemme sokeita… Tai sinä Tiedätkö, yritämme nähdä jotain, joka on olemassa ihmisistä riippumatta. Uskotko todella siihen?

TAO: Kun teet hyvää matematiikkaa, se ei ole vain symbolien työntämistä. Sinusta tuntuu, että on olemassa jokin todellinen esine, jota yrität ymmärtää, ja kaikki meillä olevat yhtälömme ovat vain eräänlaisia ​​likiarvoja siitä tai varjoja.

Voit keskustella filosofisesta näkökulmasta siitä, mikä todella on todellisuutta ja niin edelleen. Tarkoitan, nämä ovat asioita, joita voit todella koskettaa, ja mitä todellisemmiksi asiat tulevat matemaattisesti, joskus sitä vähemmän fyysisiltä ne näyttävät. Kuten sanoit, geometria oli aluksi hyvin konkreettinen asia fyysisen tilan esineissä, jonka pystyit – tiedäthän, voit itse asiassa rakentaa ympyrän ja neliön ja niin edelleen.

Mutta modernissa geometriassa työskentelemme korkeammissa ulottuvuuksissa. Voimme puhua diskreeteistä geometrioista, kaikenlaisista hassuista topologioista. Ja tarkoitan, että aihetta ansaitsee edelleen kutsua geometriaksi, vaikka maapalloa ei enää mitata. Antiikin Kreikan etymologia on hyvin vanhentunutta, mutta se on, mutta siinä on varmasti jotain. Olipa - kuinka todelliseksi haluat sitä kutsua. Mutta kai pointti on siinä, että matematiikan suorittamiseksi se auttaa uskomaan sen olevan totta.

STROGATZ: Joo, eikö olekin mielenkiintoista? Se tekee. Näyttää siltä, ​​​​että se on jotain, joka menee hyvin syvälle matematiikan historiassa. Minua hämmästytti Arkhimedesen essee, joka kirjoitti ystävälleen tai ainakin kollegalleen Eratosthenekselle.

Puhumme nyt, kuten vuodesta 250 eKr. Ja hän huomauttaa, että hän on löytänyt tavan löytää alue, jota kutsumme paraabelin segmentiksi. Hän ottaa paraabelin, hän leikkaa sen poikki janalla, joka on vinossa kulmassa paraabelin akseliin nähden, ja hän selvittää tämän alueen. Hän saa erittäin kauniin tuloksen. Mutta hän sanoo Eratosthenesille jotain, kuten: "Nämä tulokset olivat luontaisia ​​lukuihin koko ajan." Tiedätkö, he ovat siellä. He ovat siellä. He vain odottavat hänen löytävänsä.

Hän ei ole niitä luonut. Se ei ole kuin runoutta. Tarkoitan, se on itse asiassa mielenkiintoista, eikö? Että monet suuret taiteilijat – Michelangelo puhui patsaan irrottamisesta kivestä, tiedäthän, ikään kuin se olisi alun perin sisällä. Ja kuulostaa siltä, ​​että sinulla ja monilla muilla suurilla matemaatikoilla on – kuten sanot, on erittäin hyödyllistä uskoa tähän ajatukseen, että se on siellä odottamassa meitä odottaen oikean mielen löytämistä sen.

TAO: Aivan. No, mielestäni yksi ilmentymä siitä on se, että ideat, joita on usein hyvin monimutkainen selittää, kun ne ensimmäisen kerran löydetään, ne yksinkertaistuvat. Tarkoitan, että usein syy siihen, miksi jokin näyttää alussa syvältä tai vaikealta, on se, että sinulla ei ole oikeaa merkintää.

Meillä on esimerkiksi nyt desimaalimerkintä numeroiden käsittelyyn, ja se on erittäin kätevää. Mutta aiemmin meillä oli kuten, tiedäthän, roomalaiset numerot, ja sitten oli vielä primitiivisempiä lukujärjestelmiä, joiden kanssa oli vain todella, todella vaikea työskennellä, jos halusi tehdä matematiikkaa.

Eukleideen elementit, tiedäthän – joitain argumentteja näissä muinaisissa teksteissä. Kuten, Eukleideen lauseessa on yksi lause elementit Luulen, että nimeltään tyhmien silta tai jotain. Se on kuin väite, että mielestäni väite on kuin tasakylkinen kolmio, kaksi kantakulmaa ovat yhtä suuret. Tämä on kuin kaksirivinen todistus nykyaikaisissa geometrisissa teksteissä, tiedäthän, oikeilla aksioomeilla. Mutta Euklidisella oli tämä kauhistuttava tapa tehdä se. Ja siellä monet klassisen aikakauden geometrian opiskelijat vain luopuivat matematiikasta.

STROGATZ: Totta. (nauraa)

TAO: Mutta tiedätkö, meillä on nyt paljon parempi tapa tehdä se. Niin usein matematiikassa näkemämme komplikaatiot ovat omien rajoitustemme artefakteja. Ja niin, kun kypsymme, asiat yksinkertaistuvat. Ja sen takia se tuntuu todellisemmalta. Emme näe esineitä. Näemme olemuksen.

STROGATZ: No, palatakseni esseeseesi: Kun kirjoitit sen tuolloin - tarkoitan, tämä oli melko varhainen urasi, ei aivan alussa, mutta kuitenkin. Miksi sinusta tuntui silloin, että oli tärkeää yrittää määritellä, mitä hyvä matematiikka on?

TAO: Luulen… Joten siinä vaiheessa aloin jo neuvoa jatko-opiskelijoita ja huomasin, että siellä oli väärinkäsityksiä siitä, mikä on hyvää ja mikä ei. Ja puhuin myös eri alojen matemaatikoille, ja se, mitä oman alansa matematiikassa arvostaa, näytti erilaiselta kuin muut. Mutta silti, jotenkin opiskelimme kaikki samaa aihetta.

Ja joskus joku sanoi jotain, mikä hieroi minua väärään suuntaan, kuten: "Tällä matematiikalla ei ole sovelluksia, joten sillä ei ole arvoa." Tai "Tämä todiste on liian monimutkainen; siksi sillä ei ole arvoa”, tai jotain. Tai päinvastoin, tiedät: "Tämä todiste on liian yksinkertainen; siksi se ei ole sen arvoista…” Tiedäthän. Kuten, siellä oli jonkinlaista snobismia ja niin edelleen, joskus törmäsin.

Ja kokemukseni mukaan paras matematiikka tuli, kun ymmärsin toisen näkökulman, erilaisen tavan ajatella matematiikkaa kuin joku eri alalla ja soveltaa sitä ongelmaan, josta välitin. Ja niinpä kokemukseni matematiikan oikeasta käytöstä ja sen hallitsemisesta oli niin erilainen kuin nämä - tavallaan "yksi todellinen tapa tehdä matematiikkaa".

Minusta tuntui, että tämä pointti oli jotenkin korostettava. Että matematiikkaa on todellakin monikossa, mutta matematiikka on silti yhtenäinen.

STROGATZ: Se on hyvin paljastavaa, koska olin ihmetellyt, tiedäthän, esittelyssäni mainitsin monet erilaiset matematiikan osa-alueet, joita olet tutkinut, enkä edes sisällyttänyt joitain. Muistan vain muutaman vuoden takaisen työsi tästä virtausdynamiikan mysteeristä, siitä, tekevätkö tietyt yhtälöt, joiden uskomme tekevän hyvää työtä veden ja ilman liikkeiden lähentämisessä. En halua mennä yksityiskohtiin liikaa, mutta vain sanoakseni, tässä olet, ihmiset ajattelevat sinun tekevän lukuteoriaa tai harmonista analyysiä, ja yhtäkkiä työskentelet nestedynamiikkakysymysten parissa. Tarkoitan, ymmärrän, että se on osittaisia ​​differentiaaliyhtälöitä. Mutta silti, kiinnostuksesi laajuus näyttää liittyvän siihen, kuinka laajasti hyväksyt erilaisia ​​oivalluksia, erilaisia ​​arvokkaita ideoita kaikista eri tavoista tehdä hyvää matematiikkaa.

TAO: Unohdan kuka sen sanoi, mutta matemaatikoita on kahdenlaisia. Siellä on siilejä ja kettuja. Kettu on joku, joka tietää vähän kaikesta. Siili on olento, joka tietää yhden asian erittäin hyvin. Eikä kumpikaan ole toista parempi. Ne täydentävät toisiaan. Tarkoitan, että matematiikassa tarvitset ihmisiä, jotka ovat todella syvällisiä asiantuntijoita yhdellä osa-alueella ja he tuntevat asian läpikotaisin. Ja tarvitset ihmisiä, jotka näkevät yhteydet kentän ja toisen välillä. Tunnistun siis ehdottomasti ketuksi, mutta työskentelen monien siilien kanssa. Työ, josta olen ylpein, on usein tällainen yhteistyö.

STROGATZ: Todellakin. Ymmärtävätkö he olevansa siilejä?

TAO: No, okei, roolit muuttuvat ajan myötä. Kuten, on muitakin yhteistyöprojekteja, joissa minä olen siili ja joku muu on kettu. Nämä eivät ole tavallaan pysyviä – tiedäthän, nämä eivät ole DNA:ssasi.

STROGATZ: Ah, hyvä pointti. Voimme adoptoida – voimme käyttää molempia kaapuja.

No, entä, oliko esseeseen tuolloin vastausta? Vastasivatko ihmiset sinulle mitään?

TAO: Sain yleisesti ottaen melko positiivisen vastauksen. Tarkoitan, AMS:n tiedote ei mielestäni ole valtavasti, laajalle levinnyt julkaisu. Ja myös, en oikeastaan ​​sanonut mitään liian kiistanalaista. Myös tällainen sosiaalinen media ennen aikojaan, joten luulen, että ehkä muutama matematiikkablogi otti sen esiin, mutta Twitteriä ei ollut. Mikään ei saisi siitä leviämään.

Joo, minäkin luulen, että matemaatikot eivät yleensä käytä paljon aikaansa ja henkistä pääomaansa spekulointiin. Tarkoitan, siellä on toinen matemaatikko nimeltä Minhyong Kim jolla oli tämä erittäin mukava metafora, että matemaatikoille uskottavuus on kuin valuutta, kuin rahaa. Jos todistat lauseita ja osoitat tuntevasi aiheen, keräät jotenkin tätä uskottavuutta pankkiin. Ja kun sinulla on tarpeeksi valuuttaa, sinulla on varaa spekuloida hieman olemalla hieman filosofinen ja sanomalla, mikä saattaa olla totta sen sijaan, mitä voit itse todistaa.

Mutta olemme yleensä konservatiivisia, emmekä halua tilinylitystä pankkitilillemme. Tiedätkö, et halua, että suurin osa kirjoituksistasi on spekulatiivista ja että vain yksi prosentti todella todistaa jotain.

STROGATZ: Ymmärrän kyllä. Joten okei. Siitä on siis kulunut monta vuotta. Mistä puhutaan? Siitä on yli 15 vuotta.

TAO: Ai niin, aika rientää.

STROGATZ: Onko mielipiteesi muuttunut? Onko meillä jotain tarkistettavaa?

TAO: No, matematiikan kulttuuri muuttuu melkoisesti. Minulla oli jo laaja näkemys matematiikasta, ja nyt minulla on vielä laajempi näkemys.

Joten yksi hyvin konkreettinen esimerkki on: Tietokoneavusteiset todistukset olivat vielä kiistanalaisia ​​vuonna 2007. Oli kuuluisa arvelu nimeltä Kepler-arvaus, joka koskee tehokkainta tapaa pakata yksikköpalloja kolmiulotteiseen avaruuteen. Ja siellä on vakiopakkaus, luulen, että sitä kutsutaan kuutioksi keskuspakkaukseksi tai jotain, jonka Kepler arveli olevan paras mahdollinen.

Asia ratkesi lopulta, mutta Todistaminen oli erittäin tietokoneavusteista. Se oli melko monimutkaista ja [Thomas] HalesLopulta itse asiassa loi koko tietokonekielen vahvistaakseen virallisesti tämän todisteen, mutta sitä ei hyväksytty todelliseksi todisteeksi moneen vuoteen. Mutta se osoitti, kuinka kiistanalainen käsitys todisteesta, jonka tarkistamiseen tarvitsit tietokoneapua, oli.

Sen jälkeisten vuosien aikana on ollut monia, monia muita esimerkkejä todisteista, joissa ihminen voi pelkistää monimutkaisen ongelman johonkin, jonka tarkistamiseen tarvitaan edelleen tietokone. Ja sitten tietokone menee eteenpäin ja varmistaa sen. Olemme kehittäneet käytäntöjä, miten tämä tehdään vastuullisesti. Tiedätkö kuinka julkaista koodia ja dataa ja tapoja tarkistaa ja uusia avoimen lähdekoodin asioita ja niin edelleen. Ja nyt tietokoneavusteiset todisteet hyväksytään laajalti.

Nyt luulen, että seuraava kulttuurinen muutos on hyväksytäänkö tekoälyn luomat todisteet. Tällä hetkellä tekoälytyökalut eivät ole sillä tasolla, että ne voisivat tuottaa todisteita matemaattisten ongelmien todella edistämiseksi. Ehkä perustutkintotason kotitehtävät, ne osaavat jotenkin hoitaa, mutta tutkivat matematiikkaa, ne eivät ole vielä sillä tasolla. Mutta jossain vaiheessa alamme nähdä tekoälyavusteisia papereita ilmestyvän ja keskustelua käydään.

Kulttuurimme on jollain tapaa muuttunut… Vuonna 2007 vain murto-osa matemaatikoista asetti esipainonsa saataville ennen julkaisua. Tekijät vartioivat mustasukkaisesti esipainojaan, kunnes he saivat ilmoituksen hyväksymisestä lehdestä. Ja sitten he voivat jakaa.

Mutta nyt kaikki laittavat paperinsa julkiset palvelimet, kuten arXiv. On paljon avoimempaa laittaa videoita ja blogikirjoituksia siitä, mistä lehden ideat tulevat. Koska ihmiset ymmärtävät, että juuri tämä tekee työstä vaikuttavampaa ja vaikuttavampaa. Jos yrität olla julkistamatta työtäsi ja olla sen suhteen hyvin salaperäinen, se ei tee roiskeita.

Matematiikasta on tullut paljon yhteistyökykyisempi. Tiedätkö, 50 vuotta sitten sanoisin, että suurin osa matematiikan kirjoituksista oli yhden kirjoittajan. Nyt varmasti suurin osa on kaksi tai kolme tai neljä kirjailijaa. Ja olemme vasta alkamassa nähdä todella suuria projekteja, kuten teemme tieteissä, kuten kymmenet, sadat ihmiset tekevät yhteistyötä. Se on edelleen vaikeaa matemaatikoille, mutta uskon, että pääsemme siihen.

Samalla olemme tulossa paljon monitieteisemmiksi. Työskentelemme paljon enemmän muiden tieteiden kanssa. Työskentelemme matematiikan alojen välillä. Ja Internetin ansiosta voimme tehdä yhteistyötä ihmisten kanssa ympäri maailmaa. Joten tapamme tehdä matematiikkaa on ehdottomasti muuttumassa.

Toivon, että tulevaisuudessa pystymme hyödyntämään amatöörimatematiikan yhteisöä enemmän. On muita aloja, kuten tähtitiede, joilla tähtitieteilijät hyödyntävät suuresti amatööritähtitieteen yhteisöä, kuten esimerkiksi amatöörit löytävät paljon komeettoja.

Mutta matemaatikot… Matematiikassa on muutamia erillisiä alueita, kuten like, laatoitus, kaksiulotteinen laatoitus ja ehkä tietueiden löytäminen alkulukuina. On joitakin hyvin valikoituja matematiikan aloja, joilla amatöörit osallistuvat, ja he ovat tervetulleita. Mutta esteitä on paljon. Useimmilla matematiikan aloilla tarvitset niin paljon koulutusta ja sisäistä tai tavanomaista viisautta, ettemme voi kerätä asioita joukkoon. Mutta tämä voi muuttua tulevaisuudessa. Ehkä yksi tekoälyn vaikutuksista olisi se, että amatöörimatemaatikot voisivat osallistua mielekkäästi matematiikkaan.

STROGATZ: Se on erittäin mielenkiintoista.

[Tauko mainoksen lisäämistä varten]

STROGATZ: Joten amatöörit voisivat tekoälyjen avulla joko kysyä uusia kysymyksiä, jotka ovat hyviä, tai auttaa olemassa olevien kysymysten hyvässä tutkimisessa, sellaista asiaa?

TAO: On olemassa monia erilaisia ​​tapoja - joo. Joten esimerkiksi nyt on olemassa projekteja suurten teoreemojen todisteiden formalisoimiseksi näissä asioissa ns muodolliset todistusavustajat, jotka ovat kuin tietokonekieliä, jotka voivat 100-prosenttisesti varmistaa, että lause on totta vai ei, ja — onko se todistettu vai ei. Tämä itse asiassa mahdollistaa laajan matematiikan yhteistyön.

Joten aiemmin, jos teit yhteistyötä 10 muun ihmisen kanssa todistaaksesi lauseen ja jokainen osallistuu askeleella, kaikkien on vahvistettava kaikkien muiden matematiikka. Koska matematiikassa on se, että jos yhdessä vaiheessa on virhe, koko asia voi hajota.

Tarvitset siis luottamusta ja niin — siksi tämä estää, tämä todella estää todella laajamittaisen yhteistyön matematiikassa. Mutta nyt on ollut onnistuneita esimerkkejä todella suurten teoreemojen formalisoinnista, jossa on valtava yhteisö, he eivät kaikki tunne toisiaan, he eivät kaikki luota toisiinsa, mutta he kommunikoivat lataamalla ne johonkin Github-tietovarastoon tai jotain, kuten yksittäisiä todisteita argumentin yksittäisistä vaiheista. Ja muodollinen todistusohjelmisto varmistaa kaiken, joten sinun ei tarvitse huolehtia luottamuksesta. Joten otamme käyttöön uusia yhteistyömuotoja, joita emme ole todella nähneet aiemmin.

STROGATZ: On todella mielenkiintoista kuulla näkemyksesi, Terry. Se on kiehtova ajatus. Et kuule ilmaisua "kansalainen matemaatikko". Kuulet kansalaistieteestä, mutta miksi ei kansalaismatematiikkaa?

Mutta mietin vain, onko olemassa trendejä, joista olet huolissasi, esimerkiksi tietokoneavusteisten todisteiden tai tekoälyn luomien todisteiden kanssa? Tiedämmekö, että tietyt tulokset ovat totta, mutta emme ymmärrä miksi?

TAO: Se on siis ongelma. Tarkoitan, se on ongelma jo ennen tekoälyn tuloa. Joten on monia kenttiä, joilla aiheen paperit pidentyvät, satoja sivuja. Ja toivon, että tekoäly voi itse asiassa päinvastoin auttaa yksinkertaistamaan ja se voi selittää sekä todistaa.

Joten on jo olemassa kokeellisia ohjelmistoja, joissa esimerkiksi jos otat virallisen todisteen, voit itse muuntaa sen interaktiiviseksi ihmisen luettavaksi asiakirjaksi, jossa sinulla on todistus ja näet korkean tason vaiheet ja jos siinä on lause. et ymmärrä, voit kaksoisnapsauttaa sitä, ja se laajenee pienemmiksi vaiheiksi. Pian luulen, että voit myös saada AI-chatbotin istumaan vierellesi, kun käyt läpi todisteita, ja he voivat vastata kysymyksiin ja selittää jokaisen vaiheen aivan kuin olisivat kirjoittaja. Luulen, että olemme jo hyvin lähellä sitä.

On olemassa huolenaiheita. Meidän on muutettava tapaamme kouluttaa opiskelijoitamme, varsinkin nyt, kun monet perinteisistä tavoistamme antaa läksyjä ja niin edelleen, olemme melkein siinä pisteessä, että nämä tekoälytyökalut voivat vastata välittömästi moniin tavallisiin koekysymyksiimme. Ja siksi meidän on opetettava opiskelijoillemme uusia taitoja, kuten kuinka varmistaa, onko tekoälyn tuottama tulos oikea vai ei, ja miten saada toinen mielipide.

Ja saatamme nähdä kokeellisemman puolen ilmestymisen matematiikkaan. Joten matematiikka on lähes kokonaan teoreettista, kun taas useimmissa tieteissä on sekä teoreettinen että kokeellinen komponentti. Saatamme lopulta saada tuloksia, jotka ensin todistetaan vain tietokoneilla, ja kuten sanot, emme ymmärrä. Mutta sitten kun meillä on tieto, jonka tekoäly, tietokoneella luodut todisteet tarjoavat, voimme ehkä suorittaa kokeita.

Nyt on vähän kokeellista matematiikkaa. Ihmiset tutkivat esimerkiksi suuria tietojoukkoja eri asioista, esimerkiksi elliptisiä käyriä. Mutta siitä voi tulla paljon suurempi tulevaisuudessa.

STROGATZ: Hei, sinulla on hyvin optimistinen näkemys, se kuulostaa minusta. Se ei ole kuin kultakausi olisi menneisyyttä. Jos kuulen oikein, luulet, että edessä on paljon erittäin jännittävää.

TAO: Joo, monet uudet teknologiset työkalut ovat erittäin voimaannuttavia. Tarkoitan, että tekoälyllä on yleensä monia monimutkaisia ​​ylä- ja haittapuolia. Tieteiden ulkopuolella on paljon mahdollisia häiriöitä taloudessa, immateriaalioikeuksissa ja niin edelleen. Mutta matematiikassa hyvän ja huonon suhde on mielestäni parempi kuin monilla muilla aloilla.

Ja tiedätkö, internet on todella muuttanut tapaamme tehdä matematiikkaa. Teen yhteistyötä monien ihmisten kanssa monilla eri aloilla. En voisi tehdä tätä ilman Internetiä. Se, että voin mennä Wikipediaan tai mihin tahansa ja aloittaa opiskelun aihetta, ja voin lähettää sähköpostia jollekin, ja voimme tehdä yhteistyötä verkossa. Jos minun täytyisi tehdä vanhan koulun asioita, joissa voisin puhua vain osastollani olevien ihmisten kanssa ja käyttää fyysistä postia kaikkeen muuhun, en pystyisi suorittamaan nykyistä laskelmaa.

STROGATZ: Vau, hyvä on. Minun täytyy vain alleviivata sitä, mitä juuri sanoit, koska en koskaan uskonut miljoonan vuoden aikana kuulevani tätä: Terry Tao lukee Wikipediaa oppiakseen matematiikkaa?

TAO: Lähtökohtana. Tarkoitan, se ei ole aina Wikipedia, vaan vain saadakseni avainsanat, ja sitten teen tarkemman haun esim. MathSciNet tai jokin muu tietokanta. Mutta joo.

STROGATZ: Se ei ole kritiikkiä. Tarkoitan, teen samaa. Wikipedia on itse asiassa, jos Wikipedian matematiikkaa kritisoidaan, ehkä se on joskus vähän liian edistynyt lukijoille, jolle se on tarkoitettu. Ei aina. Eli riippuu. Se vaihtelee paljon artikkelista toiseen. Mutta se on vain hauskaa. Rakastan kuulla sitä.

TAO: Tarkoitan, että nämä työkalut, sinun täytyy pystyä tarkastamaan tulos. Syy, miksi voin käyttää Wikipediaa matematiikan tekemiseen, on se, että tiedän jo tarpeeksi matematiikkaa, jotta voin haistaa, onko matematiikan Wikipedia epäilyttävä vai ei. Tiedätkö, se voi saada joitain lähteitä ja yksi niistä tulee olemaan parempi lähde kuin toinen. Ja tunnen kirjoittajat, ja minulla on käsitys siitä, mikä viite on minulle parempi. Jos käyttäisin Wikipediaa oppiakseni aiheesta, josta minulla ei ole kokemusta, se olisi mielestäni enemmän satunnaismuuttuja.

STROGATZ: No, olemme siis puhuneet melko paljon siitä, mikä tekee hyvästä matematiikasta, uudenlaisen hyvän matematiikan mahdollisen tulevaisuuden. Mutta ehkä meidän pitäisi käsitellä kysymystä: miksi tällä edes on väliä? Miksi on tärkeää, että matematiikka on hyvää?

TAO: No, ensinnäkin tarkoitan, miksi meillä on matemaatikoita? Miksi yhteiskunta arvostaa matemaatikoita ja antaa meille resurssit tehdä mitä teemme? Tiedätkö, se johtuu siitä, että tarjoamme jonkin verran arvoa. Meillä voi olla sovelluksia todelliseen maailmaan. On älyllistä kiinnostusta, ja jotkin kehittämistämme teorioista lopulta antavat näkemystä muihin ilmiöihin.

Eikä kaikki matematiikka ole yhtä arvokasta. Tarkoitan, että voisit laskea yhä enemmän pi:n numeroita, mutta jossain vaiheessa et opi mitään. Jokainen aihe tarvitsee jonkinlaista arvoarviota, koska sinun on jaettava resursseja. Siellä on niin paljon matematiikkaa. Mitä edistysaskeleita haluat korostaa ja julkistaa ja kertoa muille ihmisille, ja mitkä niistä pitäisi ehkä vain istua hiljaa päiväkirjan ääressä?

Vaikka ajattelet aiheen olevan täysin objektiivinen ja tiedäthän, että siellä on vain totta tai tarua, meidän on silti tehtävä valintoja. Tiedätkö, vain siksi, että aika on rajallinen resurssi. Huomio on rajallinen resurssi. Raha on rajallinen resurssi. Nämä ovat siis aina tärkeitä kysymyksiä.

STROGATZ: No, mielenkiintoista, että mainitsit julkistamisesta, koska se on mielestäni työsi erottuva piirre, että olet myös ponnistellut paljon saadaksesi matematiikkaa julkisesti saataville blogisi kautta, erilaisten artikkeleiden kautta. olet kirjoittanut. Muistan keskusteleneeni yhdestä, jonka kirjoitit American Scientist universaalisuudesta ja siitä ideasta. Miksi on tärkeää tehdä matematiikasta julkista ja ymmärrettävää? Tarkoitan, mitä yrität tehdä?

TAO: Se tapahtui tavallaan orgaanisesti. Urani alkuvaiheessa World Wide Web oli vielä hyvin uutta, ja matemaatikoilla alkoi olla erisisältöisiä verkkosivuja, mutta keskushakemistoa ei juurikaan ollut. Ennen Googlea ja niin edelleen yksittäisten resurssien löytäminen oli todella vaikeaa.

Joten aloin tehdä jonkinlaista pieniä hakemistoja verkkosivullani. Ja tekisin myös verkkosivuja omille lehdilleni ja kommentoisin. Aluksi se oli enemmän omaksi hyödyksi, vain organisatorisena työkaluna, vain auttamaan minua löytämään asioita. Sivutuotteena se oli yleisön saatavilla, mutta olin tavallaan omien verkkosivujeni ensisijainen kuluttaja, tai ainakin niin luulin.

Mutta muistan hyvin selvästi, että oli kerran, kun kirjoitin paperin ja laitoin sen verkkosivulleni, ja minulla oli pieni alasivu nimeltä "Mitä uutta?" Ja minä vain sanoin: "Tässä on paperi. Siinä on kysymys, johon en vieläkään osannut vastata, enkä tiedä kuinka ratkaista se." Ja tein juuri tämän kommentin. Ja sitten, kuten kaksi päivää myöhemmin, sain sähköpostin, jossa sanottiin: "Voi, tarkistin juuri kotisivuasi. Tiedän vastauksen tähän. On paperi, joka ratkaisee ongelmasi."

Ja se sai minut ymmärtämään ensinnäkin, että ihmiset vierailivat verkkosivullani, mitä en oikeastaan ​​tiennyt. Mutta se vuorovaikutus yhteisön kanssa voisi todella – no, se voisi auttaa minua suoraan ratkaisemaan kysymykseni.

Tämä laki on nimeltään Metcalfen laki verkostoitumisessa sen, tiedäthän, jos sinulla on n ihmiset, ja he kaikki puhuvat keskenään, on noin n² yhteyksiä niiden välillä. Ja niin, mitä suurempi yleisö ja mitä suurempi foorumi, jossa kaikki voivat keskustella muiden kanssa, sitä enemmän potentiaalisia yhteyksiä voit luoda ja sitä enemmän hyviä asioita voi tapahtua.

Tarkoitan, että urallani monet löydöt, joita olen tehnyt, tai yhteydet, joita olen tehnyt, johtuu odottamattomasta yhteydestä. Koko urakokemukseni on ollut sellainen, että enemmän yhteyksiä on yhtä kuin vain parempia asioita tapahtuu.

STROGATZ: Mielestäni kaunis esimerkki siitä, mihin juuri viittaat, mutta haluaisin mielelläni kuulla sinun puhuvan siitä, ovat yhteydet, joita loit tietotieteen ihmisten kanssa, jotka ovat kiinnostuneita lääketieteelliseen resonanssikuvaukseen liittyvistä kysymyksistä , MRI. Voisitko kertoa meille hieman tästä tarinasta?

TAO: Joten, tämä oli noin 2006, 2005, luulen. Joten, täällä UCLA:n kampuksella oli poikkitieteellinen ohjelma monimittakaavaisesta geometrisesta analyysistä tai vastaavasta, jossa he kokosivat yhteen puhtaita matemaatikkoja, jotka olivat kiinnostuneita eräänlaisesta monimittakaavaisesta tyyppigeometriasta sellaisenaan, ja sitten, ihmiset, joilla oli hyvin konkreettisia tietotyyppiongelmia.

Ja olin juuri alkanut työskennellä joidenkin satunnaismatriisiteorian ongelmien parissa, joten minut tunnettiin henkilönä, joka osasi manipuloida matriiseja. Ja tapasin jonkun, jonka jo tunsin, Emmanuel Candès, koska hän työskenteli tuolloin aivan vieressä Caltechissa. Ja hän ja toinen yhteistyökumppani, Justin Romberg, he olivat havainneet tämän epätavallisen ilmiön.

Joten he katsoivat MRI-kuvia, mutta ne olivat hyvin hitaita. Riittävän todella korkearesoluutioisen kuvan kerääminen ihmiskehosta tai tarpeeksi saadakseen kasvaimen tai minkä tahansa lääketieteellisesti tärkeän ominaisuuden, jonka haluat löytää, kestää usein useita minuutteja, koska heidän täytyy skannata kaikki nämä eri kulmat ja sitten syntetisoida tiedot. . Ja tämä oli itse asiassa ongelma, koska esimerkiksi pienet lapset vain istua paikallaan kolme minuuttia magneettikuvauslaitteella oli melko ongelmallista.

Joten he kokeilivat eri tavalla käyttämällä lineaarista algebraa. He toivoivat saavansa 10 %, 20 % parempaa suorituskykyä. Tiedätkö, hieman terävämpi kuva säätämällä hieman vakioalgoritmia.

Joten standardialgoritmia kutsuttiin pienimmän neliösumman approksimaatioksi, ja he tekivät jotain muuta, nimeltään kokonaisvaihtelun minimointi. Mutta sitten kun he suorittivat tietokoneohjelmistoa, he saivat melkein täydellisen rekonstruktion testikuvastaan. Massiivinen, valtava parannus. Ja he eivät voineet selittää tätä.

Mutta Emmanuel oli tässä ohjelmassa, ja me juttelimme teellä tai jotain. Ja hän vain mainitsi tämän, ja itse asiassa ensimmäinen ajatukseni oli, että olet varmasti tehnyt virheen laskelmissasi, että se, mitä sanot, ei ole todellisuudessa mahdollista. Ja muistan palaavani kotiin sinä iltana ja yrittänyt kirjoittaa muistiin todellisen todisteen siitä, että se, mitä he näkivät, ei voinut tapahtua. Ja sitten puolivälissä tajusin, että olin tehnyt oletuksen, joka ei ollut totta. Ja sitten tajusin, että se voisi todella toimia. Ja sitten keksin, mikä voisi olla selitys. Ja sitten työskentelimme yhdessä, ja löysimme itse asiassa hyvän selityksen ja julkaisimme sen.

Ja kun teimme sen, ihmiset ymmärsivät, että oli monia muita tilanteita, joissa piti tehdä mittaus, joka tavallisesti vaati paljon ja paljon dataa, ja joissakin tapauksissa voit ottaa paljon pienemmän määrän dataa ja silti saada todella korkean resoluution mittaus.

Joten nyt esimerkiksi nykyaikaiset MRI-laitteet – ennen kolme minuuttia kestänyt skannaus voi nyt kestää 30 sekuntia, koska tämä ohjelmisto, tämä algoritmi on langallinen, koodattu koneisiin nyt.

STROGATZ: Se on kaunis tarina, se on niin hieno tarina. Tarkoitan, puhua tärkeästä matematiikasta, joka muuttaa elämää kirjaimellisesti tässä lääketieteellisen kuvantamisen yhteydessä. Rakastan sen seesteisyyttä ja avarakatseisuuttasi, kun kuulet tämän ajatuksen ja ajattelen sitten, että "tämä on mahdotonta, voin todistaa sen." Ja sitten tajuaa, ei oikeastaan. Mahtavaa nähdä matematiikan vaikuttavan niin paljon.

No, okei, mielestäni on parempi päästää sinut menemään, Terry. On ollut todella ilo keskustella kanssasi hyvän matematiikan olemuksesta. Kiitos paljon, että liityit joukkoomme tänään.

TAO: Joo, ei, se on ollut ilo. 

[Tauko mainoksen lisäämistä varten]

STROGATZ: "The Joy of Why" on podcastilta Quanta-lehti, toimituksellisesti riippumaton julkaisu, jota Simons Foundation tukee. Simons Foundationin rahoituspäätöksillä ei ole vaikutusta aiheiden valintaan, vieraisiin tai muihin toimituksellisiin päätöksiin tässä podcastissa tai Quanta-lehti.

"The Joy of Why" on tuottanut PRX Productions. Tuotantotiimi on Caitlin Faulds, Livia Brock, Genevieve Sponsler ja Merritt Jacob. PRX Productionsin vastaava tuottaja on Jocelyn Gonzales. Morgan Church ja Edwin Ochoa tarjosivat lisäapua. From Quanta-lehti, John Rennie ja Thomas Lin tarjosivat toimituksellisia ohjeita Matt Carlstromin, Samuel Velascon, Nona Griffinin, Arleen Santanan ja Madison Goldbergin tukemana.

Teemamusiikkimme on APM Musicilta. Julian Lin keksi podcastin nimen. Jakson kuvataide on Peter Greenwood ja logomme ovat Jaki King ja Kristina Armitage. Erityiset kiitokset Columbia Journalism Schoolille ja Burt Odom-Reedille Cornell Broadcast Studiosilla.

Olen isäntäsi, Steve Strogatz. Jos sinulla on meille kysymyksiä tai kommentteja, lähetä meille sähköpostia osoitteeseen [sähköposti suojattu]. Kiitos kuuntelemisesta.