سه نقطه را در یک صفحه پراکنده کنید، سپس فاصله بین هر جفت آنها را اندازه بگیرید. به احتمال زیاد، شما سه فاصله متفاوت را پیدا خواهید کرد. اما اگر نقاط را در یک مثلث متساوی الاضلاع مرتب کنید، هر فاصله یکسان است. در یک هواپیما، این کار با چهار نقطه غیرممکن است. کوچکترین فاصله ای که می توانید مهندسی کنید 2 است - لبه ها و مورب های یک مربع.

اما اگر یکی از نقاط را از صفحه بلند کنید تا یک هرم ایجاد کنید که هر یک از اضلاع آن یک مثلث متساوی الاضلاع است، مجموعه ای از چهار نقطه خواهید داشت که با یک فاصله منحصر به فرد از هم جدا می شوند - طول یک ضلع مثلث

اگر نکات زیادی دارید، این الگوها حتی بیشتر برجسته می شوند. صد نقطه پراکنده تصادفی در یک صفحه احتمالاً 4,950 فاصله زوجی مجزا را تعریف می کند. اما اگر 100 نقطه را در یک شبکه مسطح و مربع ترتیب دهید، هر جفت نقطه با یکی از 50 فاصله ممکن از هم جدا می شود. نقاط را در یک شبکه سه بعدی بلند کنید، و می توانید این تعداد را حتی بیشتر کاهش دهید.

پاسخ دادن به سؤالاتی در مورد تعداد فواصل بین نقاط ممکن است مانند یک تمرین باطنی به نظر برسد. اما در تلاش چندین دهه برای حل چنین مسائلی، ریاضیدانان ابزارهایی را توسعه داده اند که طیف گسترده ای از کاربردهای دیگر، از نظریه اعداد تا فیزیک را دارند.

گفت: "زمانی که مردم سعی کردند مشکل را حل کنند." پابلو شمرکین از دانشگاه بریتیش کلمبیا، "آنها شروع به کشف ارتباطاتی کردند که تعجب آور و غیرمنتظره بود."

آخرین پیشرفت در اواخر سال گذشته رخ داد، زمانی که چهار ریاضیدان با هم همکاری کردند رابطه جدیدی را ثابت کرد بین هندسه مجموعه نقاط و فواصل بین آنها.

فهرست فواصل مختلف تعیین شده توسط مجموعه ای از نقاط را مجموعه فاصله آن می نامند. شمارش کنید که چند عدد در آن لیست وجود دارد، و اندازه مجموعه فاصله را دریافت می کنید. در سال 1946، پل اردوس، ریاضیدان پرکار، حدس زد که برای تعداد زیادی از نقاط، فاصله تعیین شده نمی تواند کمتر از چیزی باشد که وقتی نقاط را در یک شبکه مرتب می کنید، به دست می آورید. مشکل، اگرچه در ظاهر ساده بود، اما به شدت عمیق و دشوار بود. حتی در دو بعد، هنوز به طور کامل ثابت نشده است، اگرچه در سال 2010، دو ریاضیدان خیلی نزدیک شد که اکنون به طور موثر حل شده در نظر گرفته می شود. در ابعاد بالاتر باز می ماند.

در همین حال، ریاضیدانان نیز نسخه های جدیدی از حدس را فرموله کردند. یکی از مهمترین آنها در الف به وجود آمد مقاله 1985 by کنت فالکونر, یک ریاضیدان در دانشگاه سنت اندروز در اسکاتلند. فالکونر به این فکر کرد که در مورد فواصل متمایز بین تعداد بی نهایت نقطه چه می توان گفت.

اگر بی نهایت امتیاز دارید، شمارش ساده دیگر چندان مفید نیست. اما ریاضیدانان راه های دیگری برای تعریف اندازه دارند. حدس فالکونر رابطه ای بین هندسه مجموعه نقاط - که با عددی به نام بعد فراکتال مشخص می شود - و اندازه مجموعه فاصله که با عددی به نام اندازه مشخص می شود، مطرح می کند.

بعد فراکتال با شهود معمولی در مورد ابعاد همسو می شود. درست مانند مفهوم آشناتر بعد، یک پاره خط دارای بعد فراکتال 1 است، در حالی که یک مربع (با فضای داخلی آن پر شده) دارای بعد فراکتال 2 است. اما اگر مجموعه ای از نقاط الگوی فراکتالی پیچیده تری را تشکیل دهد - مانند منحنی که در آن پیچ و تاب های میکروسکوپی بدون توجه به اینکه چقدر بزرگنمایی می کنید، ظاهر می شوند - بعد فراکتالی آن ممکن است یک عدد کامل نباشد. به عنوان مثال، منحنی دانه‌های برف کوخ نشان داده شده در زیر، که دارای یک سری بی‌پایان از برآمدگی‌های مثلثی کوچک‌تر است، ابعادی در حدود 1.26 دارد.

به طور کلی، مجموعه نامتناهی از نقاط دارای یک بعد فراکتالی است که تقریباً به میزان پراکندگی آن بستگی دارد. اگر در اطراف صفحه پخش شود، بعد فراکتالی آن نزدیک به 2 خواهد بود. اگر بیشتر شبیه یک خط باشد، بعد فراکتالی آن نزدیک به 1 خواهد بود. همین نوع ساختارها را می توان برای مجموعه هایی از نقاط در فضای سه بعدی تعریف کرد. ، و یا حتی در ابعاد بالاتر.

در طرف دیگر حدس فالکونر، اندازه گیری مجموعه فاصله است. اندازه گیری نوعی تعمیم ریاضی مفهوم طول است. یک عدد واحد که می تواند به عنوان یک نقطه در یک خط عددی نمایش داده شود، اندازه گیری صفر دارد. اما حتی مجموعه های بی نهایت نیز می توانند اندازه گیری صفر داشته باشند. به عنوان مثال، اعداد صحیح به قدری نازک در بین اعداد واقعی پراکنده هستند که "طول" جمعی ندارند و بنابراین مجموعه ای از اندازه گیری صفر را تشکیل می دهند. از طرف دیگر، اعداد واقعی بین مثلاً 3/4 و 1 دارای اندازه 1/4 هستند، زیرا این فاصله زمانی است.

این اندازه گیری راهی برای مشخص کردن اندازه مجموعه فواصل متمایز در بین نقاط بی نهایت می دهد. اگر تعداد فواصل "کوچک" باشد، به این معنی است که مجموعه فاصله دارای اندازه صفر خواهد بود: تعداد زیادی فواصل تکراری وجود دارد. از طرف دیگر، اگر مجموعه فاصله دارای اندازه ای بزرگتر از صفر باشد، به این معنی است که فواصل مختلف زیادی وجود دارد.

در دو بعد، فالکونر ثابت کرد که هر مجموعه ای از نقاط با ابعاد فراکتال بزرگتر از 1.5 دارای مجموعه فاصله با اندازه گیری غیر صفر است. اما ریاضیدانان به سرعت به این باور رسیدند که این موضوع برای همه مجموعه‌هایی با ابعاد فراکتال بزرگتر از 1 صادق است. یومنگ او از دانشگاه پنسیلوانیا، یکی از نویسندگان همکار مقاله جدید. علاوه بر این، حدس فالکونر به سه بعد یا بیشتر گسترش می یابد: برای نقاط پراکنده در یک dفضای بعدی بیان می کند که اگر بعد فراکتالی نقاط بیشتر از d/2، سپس اندازه مجموعه فاصله باید بزرگتر از 0 باشد.

در سال 2018، او به همراه همکاران، نشان داد که حدس در دو بعد برای همه مجموعه هایی با ابعاد فراکتال بیشتر از 5/4 قابل استفاده است. اکنون او - همراه با شیومین دو دانشگاه نورث وسترن، روئیشیانگ ژانگ از دانشگاه کالیفرنیا، برکلی، و کوین رن دانشگاه پرینستون - ثابت کرده اند که در ابعاد بالاتر، آستانه اطمینان از یک فاصله با اندازه گیری غیر صفر کمی کوچکتر از d/2 + 1/4. شمرکین گفت: «کروان‌ها در ابعاد بالاتر، در این مقاله، برای اولین بار، بهتر از بعد 2 هستند. (در دو بعد، آستانه دقیقاً است d/2 + 1/4.)

این آخرین نتیجه فقط یک در است یک موج از پیشرفت های اخیر on حدس فالکونر. اثبات، تکنیک‌هایی را در تجزیه و تحلیل هارمونیک - یک ناحیه به ظاهر دور از ریاضی که با نمایش توابع پیچیده دلبخواه از نظر امواج ساده سروکار دارد - برای تقویت کران. اما برخی از این تکنیک ها ابتدا برای مقابله با همین مشکل توسعه یافتند.

این سوال در مورد فاصله بین نقاط "به عنوان زمین بازی برای برخی از بزرگترین ایده ها در تجزیه و تحلیل هارمونیک عمل کرده است." الکس ایوسویچ از دانشگاه روچستر

اگرچه آنها فقط نیمی از شکافی را که فالکونر در مقاله سال 1985 خود به جا گذاشته بود، پر کردند، ریاضیدانان موج کار اخیر را به عنوان شاهدی بر این می دانند که حدس کامل ممکن است در نهایت در دسترس باشد. در عین حال، آنها همچنان از این مشکل به عنوان محل آزمایشی برای پیچیده ترین ابزارهای خود استفاده خواهند کرد.