Distribuya tres puntos en un plano y luego mida las distancias entre cada par de ellos. Lo más probable es que encuentres tres distancias diferentes. Pero si ordenas los puntos en un triángulo equilátero, entonces todas las distancias son iguales. En un avión esto es imposible de hacer con cuatro puntos. El menor número de distancias que puedes diseñar es 2: los bordes y las diagonales de un cuadrado.

Pero si levantas uno de los puntos del plano para crear una pirámide, cada uno de cuyos lados es un triángulo equilátero, tendrás un conjunto de cuatro puntos que están separados por una distancia única: la longitud de un lado de el triangulo.

Si tiene muchos puntos, estos patrones se vuelven aún más pronunciados. Es probable que cien puntos dispersos aleatoriamente en un plano definan 4,950 distancias distintas por pares. Pero si organizas 100 puntos en una cuadrícula plana y cuadrada, cualquier par de puntos estará separado por una de las 50 distancias posibles. Levante los puntos en una cuadrícula tridimensional y podrá reducir ese número aún más.

Responder preguntas sobre el número de distancias entre puntos puede parecer un ejercicio esotérico. Pero en la búsqueda de décadas para resolver tales problemas, los matemáticos han desarrollado herramientas que tienen una amplia gama de otras aplicaciones, desde la teoría de números hasta la física.

"Cuando la gente intentó resolver el problema", dijo pablo shmerkin de la Universidad de Columbia Británica, “comenzaron a descubrir conexiones sorprendentes e inesperadas”.

El último avance se produjo a finales del año pasado, cuando una colaboración de cuatro matemáticos demostró una nueva relación entre la geometría de conjuntos de puntos y las distancias entre ellos.

La lista de diferentes distancias determinadas por un conjunto de puntos se llama conjunto de distancias; cuente cuántos números hay en esa lista y obtendrá el tamaño del conjunto de distancias. En 1946, el prolífico matemático Paul Erdős conjeturó que, para un gran número de puntos, la distancia establecida no puede ser menor que la que se obtiene cuando se organizan los puntos en una cuadrícula. El problema, aunque simple a primera vista, resultó ser extremadamente profundo y difícil. Incluso en dos dimensiones, todavía no se ha demostrado completamente, aunque en 2010, dos matemáticos estuve tan cerca que ahora se considera efectivamente resuelto; permanece abierto en dimensiones superiores.

Mientras tanto, los matemáticos también formularon nuevas versiones de la conjetura. Uno de los más importantes surgió en un papel 1985 by kenneth cetrero, Matemático de la Universidad de St. Andrews en Escocia. Falconer se preguntó qué se puede decir acerca de las distintas distancias entre un número infinito de puntos.

Si tienes infinitos puntos, simplemente contar ya no es muy útil. Pero los matemáticos tienen otras formas de definir el tamaño. La conjetura de Falconer postula una relación entre la geometría del conjunto de puntos, caracterizada por un número llamado dimensión fractal, y el tamaño de la distancia establecida, caracterizada por un número llamado medida.

La dimensión fractal se alinea con la intuición ordinaria sobre las dimensiones. Al igual que con el concepto más familiar de dimensión, un segmento de línea tiene una dimensión fractal de 1, mientras que un cuadrado (con su interior relleno) tiene una dimensión fractal de 2. Pero si una colección de puntos forma un patrón fractal más complicado... como una curva donde siguen apareciendo giros microscópicos sin importar cuánto se acerque; su dimensión fractal puede no ser un número entero. Por ejemplo, la curva del copo de nieve de Koch que se muestra a continuación, que tiene una serie interminable de protuberancias triangulares cada vez más pequeñas, tiene una dimensión de aproximadamente 1.26.

En general, una colección infinita de puntos tiene una dimensión fractal que depende aproximadamente de cuán dispersa esté. Si se distribuye alrededor del plano, su dimensión fractal será cercana a 2. Si se parece más a una línea, su dimensión fractal será cercana a 1. Se pueden definir los mismos tipos de estructuras para conjuntos de puntos en el espacio tridimensional. , o en dimensiones aún mayores.

En el otro lado de la conjetura de Falconer está la medida de la distancia establecida. La medida es una especie de generalización matemática de la noción de longitud. Un solo número, que se puede representar como un punto en una recta numérica, tiene medida cero. Pero incluso los conjuntos infinitos pueden tener medida cero. Por ejemplo, los números enteros están tan escasamente dispersos entre los números reales que no tienen “longitud” colectiva y, por lo tanto, forman un conjunto de medida cero. Por otro lado, los números reales entre, digamos, 3/4 y 1 miden 1/4, porque esa es la longitud del intervalo.

La medida proporciona una forma de caracterizar el tamaño del conjunto de distancias distintas entre una infinidad de puntos. Si el número de distancias es “pequeño”, eso significa que la distancia establecida tendrá medida cero: hay muchas distancias duplicadas. Si, por el contrario, la distancia establecida tiene una medida mayor que cero, significa que hay muchas distancias diferentes.

En dos dimensiones, Falconer demostró que cualquier conjunto de puntos con dimensión fractal mayor que 1.5 tiene una distancia establecida con medida distinta de cero. Pero los matemáticos rápidamente llegaron a creer que esto era cierto para todos los conjuntos con una dimensión fractal mayor que 1. "Estamos tratando de resolver esta brecha de 1/2", dijo Yumeng Ou de la Universidad de Pensilvania, uno de los coautores del nuevo artículo. Además, la conjetura de Falconer se extiende a tres o más dimensiones: para puntos dispersos en una d-espacio dimensional, establece que si la dimensión fractal de los puntos es mayor que d / 2, entonces la medida de la distancia establecida debe ser mayor que 0.

En 2018, Ou, junto con sus colegas, demostró que la conjetura se mantiene en dos dimensiones para todos los conjuntos con dimensión fractal mayor que 5/4. Ahora Ou - junto con Ximin Du de la Universidad del Noroeste, Ruixiang Zhang de la Universidad de California, Berkeley, y kevin ren de la Universidad de Princeton, han demostrado que en dimensiones superiores, el umbral para garantizar una distancia establecida con una medida distinta de cero es un poco menor que d/2 + 1/4. "Los límites en las dimensiones superiores, en este artículo, por primera vez, son mejores que en la dimensión 2", dijo Shmerkin. (En dos dimensiones, el umbral es precisamente d/2 + 1/4.)

Este último resultado es sólo uno de cada una ola de los recientes avances on La conjetura de Falconer.. La prueba refinó técnicas de análisis armónico (un área aparentemente distante de las matemáticas que se ocupa de la representación de funciones arbitrariamente complicadas en términos de ondas simples) para fortalecer el límite. Pero algunas de esas técnicas se desarrollaron por primera vez para abordar este mismo problema.

Esta pregunta sobre las distancias entre puntos "ha servido como campo de juego para algunas de las ideas más importantes en el análisis armónico", dijo alex iosevich de la Universidad de Rochester.

Aunque sólo han cerrado la mitad del hueco dejado por Falconer en su artículo de 1985, los matemáticos ven la reciente avalancha de trabajos como evidencia de que la conjetura completa puede finalmente estar a nuestro alcance. Mientras tanto, seguirán utilizando el problema como campo de pruebas para sus herramientas más sofisticadas.