1QuSoft & CWI, Ámsterdam, Países Bajos.
2Laboratorio Blackett, Imperial College Prince Consort Rd., Londres, SW7 2AZ, Reino Unido
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Resumen
Consideramos la complejidad del problema hamiltoniano local en el contexto de hamiltonianos fermiónicos con supersimetría $mathcal N=2 $ y mostramos que el problema permanece $mathsf{QMA}$-completo. Nuestra principal motivación para estudiar esto es el hecho bien conocido de que la energía del estado fundamental de un sistema supersimétrico es exactamente cero si y sólo si un determinado grupo de cohomología no es trivial. Esto abre la puerta a utilizar las herramientas de la complejidad hamiltoniana para estudiar la complejidad computacional de una gran cantidad de problemas algorítmicos que surgen en el álgebra homológica, incluidos problemas de topología algebraica, geometría algebraica y teoría de grupos. Damos los primeros pasos en esta dirección introduciendo el problema de cohomología local $k$ y mostrando que es $mathsf{QMA}_1$-difícil y, para una gran clase de instancias, está contenido en $mathsf{QMA}$ . Luego consideramos la complejidad de estimar números de Betti normalizados y mostramos que este problema es difícil para la clase de complejidad cuántica $mathsf{DQC}1$, y para una gran clase de instancias está contenida en $mathsf{BQP}$. A la luz de estos resultados, sostenemos que es natural enmarcar muchos de estos problemas homológicos en términos de encontrar estados fundamentales de sistemas fermiónicos supersimétricos. Como ilustración de esta perspectiva, analizamos con cierto detalle el modelo de Fendley, Schoutens y de Boer que consiste en fermiones de núcleo duro en un gráfico, cuya estructura de estado fundamental codifica agujeros de $l$ dimensiones en el complejo de independencia del gráfico. Esto ofrece una nueva perspectiva sobre los algoritmos cuánticos existentes para el análisis de datos topológicos y sugiere otros nuevos.
Imagen de portada: Esquema de la relación entre cocadenas ($C^{p−1}$, $C^p$, $C^{p+1}$), cociclos $Z^{p−1}$, $Z ^p$, $Z^{p+1}$ y colímites ($B^{p−1}$, $B^p$, $B^{p+1}$. El $p$ésimo grupo de cohomología consta de aquellos elementos que son cociclos pero no colímites, es decir $H^p(d) = Z^p/B^p$. Este artículo estudia la complejidad de estimar el tamaño de $H^p(d)$ para algunos. valor de $p$.
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Citado por
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- Fuente: https://quantum-journal.org/papers/q-2024-04-30-1325/
