Die zentralen Untersuchungsobjekte in der Topologie sind Räume, sogenannte Mannigfaltigkeiten, die flach aussehen, wenn man in sie hineinzoomt. Beispielsweise ist die Oberfläche einer Kugel eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit. Topologen verstehen solche zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten sehr gut. Und sie haben Werkzeuge entwickelt, mit denen sie dreidimensionale Mannigfaltigkeiten und solche mit fünf oder mehr Dimensionen verstehen können.

Aber in vier Dimensionen „spielt alles ein bisschen verrückt“, sagte er Sam Hughes, Postdoktorand an der Universität Oxford. Werkzeuge funktionieren nicht mehr; Es entsteht exotisches Verhalten. Als Tom Mrowka vom Massachusetts Institute of Technology erklärte: „Es gibt gerade genug Platz für interessante Phänomene, aber nicht so viel Platz, dass sie auseinanderfallen.“

In den frühen 1990er Jahren gründeten Mrowka und Peter Kronheimer von der Harvard University untersuchten, wie zweidimensionale Oberflächen in vierdimensionale Mannigfaltigkeiten eingebettet werden können. Sie entwickelten neue Techniken zur Charakterisierung dieser Oberflächen und konnten so entscheidende Einblicke in die ansonsten unzugängliche Struktur vierdimensionaler Mannigfaltigkeiten gewinnen. Ihre Ergebnisse legen nahe, dass die Mitglieder einer breiten Klasse von Oberflächen alle ihre übergeordnete Mannigfaltigkeit auf relativ einfache Weise durchschneiden und dabei eine grundlegende Eigenschaft unverändert lassen. Aber niemand konnte beweisen, dass dies immer wahr war.

Im Februar zusammen mit Daniel Rubermann der Brandeis University, Hughes konstruierte eine Folge von Gegenbeispielen – „verrückte“ zweidimensionale Oberflächen, die ihre übergeordneten Mannigfaltigkeiten auf eine Weise zerlegen, die Mathematiker für unmöglich gehalten hatten. Die Gegenbeispiele zeigen, dass vierdimensionale Mannigfaltigkeiten noch bemerkenswerter vielfältig sind, als Mathematiker in früheren Jahrzehnten erkannt hatten. „Es ist wirklich ein wunderschönes Papier“, sagte Mrowka. „Ich schaue es mir einfach weiter an. Da gibt es jede Menge leckere Kleinigkeiten.“

Eine Liste machen

Ende letzten Jahres, Ruberman half bei der Organisation eine Konferenz, die eine neue Liste der bedeutendsten offenen Probleme in der niedrigdimensionalen Topologie erstellte. Bei der Vorbereitung sah er sich eine frühere Liste wichtiger ungelöster topologischer Probleme aus dem Jahr 1997 an. Darin war eine Frage enthalten, die Kronheimer aufgrund seiner Arbeit mit Mrowka gestellt hatte. „Es war da drin und ich glaube, es wurde ein wenig vergessen“, sagte Ruberman. Jetzt dachte er, er könnte es beantworten.

Um die Frage zu verstehen, ist es hilfreich, zunächst zwei Schlüsselideen zu betrachten: einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten und die Fundamentalgruppe.

Einfach verbundene Mannigfaltigkeiten sind Räume, die nicht von Löchern durchzogen sind. In einer Dimension ist eine unendliche Linie einfach verbunden, ein Kreis jedoch nicht. In zwei Dimensionen sind eine unendliche Ebene und die Oberfläche einer Kugel einfach miteinander verbunden, die Oberfläche eines Donuts jedoch nicht.

Mathematiker verschärfen diese Unterscheidung, indem sie Schleifen auf einer Mannigfaltigkeit platzieren und überlegen, wie sie verformt werden können. Wenn eine Schleife auf einen Punkt verkleinert werden kann, wird einfach eine Mannigfaltigkeit verbunden. Auf einer Ebene oder der Oberfläche einer Kugel ist dies beispielsweise möglich – denken Sie daran, eine Schnur straff zu ziehen. Aber wenn sich diese Schnur im Kreis dreht, kann sie nicht schrumpfen. Ebenso können auf der Oberfläche eines Donuts Schleifen, die entweder um oder durch das zentrale Loch verlaufen, nicht zu einem einzigen Punkt verformt werden. Der Donut selbst stört.

Mathematiker klassifizieren Räume, die nicht einfach miteinander verbunden sind, indem sie ihre „Grundgruppe“ berechnen, ein Objekt, dessen Struktur widerspiegelt, wie Schleifen schrumpfen. Einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten haben eine „triviale“ Fundamentalgruppe mit nur einem Element. Aber Mannigfaltigkeiten mit Löchern haben kompliziertere Grundgruppen.

Vierdimensionale Mannigfaltigkeiten, die einfach verbunden sind, können immer noch sehr seltsam sein. Um sie zu verstehen, überlegen Mathematiker, was mit den darin eingebetteten zweidimensionalen Flächen passieren kann.

Stellen Sie sich als Analogie vor, eine Schnurschlaufe flach auf ein Stück Papier zu legen. Viel kann man damit nicht machen. Aber heben Sie es in den dreidimensionalen Raum, und Sie können es zu komplizierten Knoten verknüpfen. Die Art und Weise, wie Sie die Zeichenfolge – eine eindimensionale Mannigfaltigkeit – manipulieren können, verdeutlicht die Beschaffenheit des Raums, in den sie eingebettet ist.

Auch in der komplizierteren Welt der vier Dimensionen seien zweidimensionale Oberflächen „in vielerlei Hinsicht eine Art Schlüssel zum gesamten Geschäft“, sagte Ruberman. „Oberflächen verraten viel mehr über eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit, als man eigentlich erwarten darf.“ Mithilfe von Oberflächen können Sie zwischen Mannigfaltigkeiten unterscheiden: Wenn eine Oberfläche in einer Mannigfaltigkeit liegen kann, in einer anderen jedoch nicht, wissen Sie, dass die Mannigfaltigkeiten unterschiedlich sind. Und Flächen können genutzt werden, um aus alten Verteilern neue Verteiler zu bauen.

Auch Oberflächen haben entsprechende Grundgruppen. Und das gilt auch für ihre Komplemente – den Teil einer Mannigfaltigkeit, der übrig bleibt, wenn man die Oberfläche entfernt. Entfernen Sie den Äquator von zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten, beispielsweise der Oberfläche einer Kugel oder eines Donuts, erhalten Sie zwei getrennte Halbkugeln. Die Oberfläche des Donuts bleibt jedoch in einem Stück, wenn Sie einen vertikalen Ring anstelle eines horizontalen entfernen. Je nachdem, wie Sie eine Fläche aus einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit herausschneiden, können Sie unterschiedliche Arten von Komplementen erhalten.

Bereits in den 1990er Jahren untersuchten Mrowka und Kronheimer, was passiert, wenn man eine zweidimensionale Oberfläche aus einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit herausschneidet. Wenn die Mannigfaltigkeit selbst einfach zusammenhängend ist, welche Bedingungen müssen Oberflächen erfüllen, um sicherzustellen, dass ihre Komplemente ebenfalls einfach zusammenhängend sind?

Kronheimer und Mrowka wussten, dass einige Arten von Oberflächen Ergänzungen haben könnten, die nicht einfach miteinander verbunden seien. Ihre Arbeit schien jedoch darauf hinzuweisen, dass eine andere große Klasse von Oberflächen immer einfach zusammenhängende Komplemente haben muss.

Fast drei Jahrzehnte lang konnte niemand ein Beispiel für eine Oberfläche dieser Klasse finden, deren Komplement nicht einfach verbunden war. Aber im Herbst 2023, als Ruberman auf das Problem stieß, glaubte er, er könnte es schaffen. Anstatt mit einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit zu beginnen und eine Fläche herauszuschneiden, begann er mit einer zweidimensionalen Fläche, die die notwendigen Eigenschaften hatte, und baute eine Mannigfaltigkeit um sie herum auf.

Zunächst verdichtete er die Oberfläche zu einem vierdimensionalen Klecks. Dieser vierdimensionale Klecks hatte eine dreidimensionale Grenze, genauso wie ein dreidimensionales Objekt wie ein Ball eine zweidimensionale Grenze hat. Ruberman wollte auf der anderen Seite der Grenze eine sorgfältig ausgewählte vierdimensionale Mannigfaltigkeit anbringen, die als Ergänzung zur Oberfläche dienen sollte. Wenn der Schachzug funktionieren würde, dann hätte diese Mannigfaltigkeit eine komplizierte Grundgruppe, doch die Grundgruppe von allem zusammen wäre trivial. Die neu konstruierte vierdimensionale Mannigfaltigkeit wäre daher einfach zusammenhängend.

Aber um alles richtig zusammenfügen zu können, musste er zeigen, dass die Grundgruppe des Neuzugangs alle möglichen Eigenschaften erfüllte. „Ich hatte keine Ahnung, wie das geht“, sagte Ruberman.

Dann hielt Hughes – ein Gruppentheoretiker – im Januar einen Vortrag bei Brandeis. Ruberman war im Publikum. Er erkannte, dass Hughes möglicherweise das fehlende Teil hatte, nach dem er suchte. Die beiden trafen sich am nächsten Tag und hatten innerhalb weniger Stunden die wichtigsten Ideen ausgearbeitet, die sie brauchten. Was Ruberman fehlte, „ist etwas, das Gruppentheoretiker zu diesem Zeitpunkt bereits seit 70, 80 Jahren berechnet haben“, sagte Hughes. „Wir sind schon ewig dabei.“ Am Ende der Woche hatten sie einen vollständigen Beweis.

„Ich wusste einige Dinge, und er wusste einige Dinge, und wir beide wussten genug, um es einfach zu tun“, sagte Ruberman.

Aufgrund der Art und Weise, wie die Gruppentheorie im Beweis verwendet wird, „ist das etwas ungewöhnlich“, sagte er Maggie Miller der University of Texas, Austin. „Es ist etwas anders geschrieben, als es den meisten vierdimensionalen Topologen lieb wäre.“

Das Ergebnis ist ein weiteres Beispiel dafür, wie kompliziert die vierdimensionale Topologie sein kann. „Es gibt interessantere Einbettungen von Oberflächen als wir dachten“, sagte Hughes. Dies macht es schwieriger, Mannigfaltigkeiten zu klassifizieren und andere Arten von Ergebnissen über sie zu beweisen.

Dennoch, im März İnanç Baykur von der University of Massachusetts, Amherst, der letztes Jahr zusammen mit Ruberman die Listenerstellungskonferenz organisierte, kündigte die Lösung an zu einem anderen Problem mit einfach zusammenhängenden vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten aus der Liste von 1997.

Es scheint, dass die Topologen aufräumen.