মৌলিক সংখ্যা তিন প্রকার। প্রথমটি একটি একাকী আউটলায়ার: 2, একমাত্র জোড় প্রধান। এর পরে, অর্ধেক প্রাইম 1 দিয়ে ভাগ করলে 4 এর একটি অবশিষ্ট থাকে। বাকী অর্ধেকটি 3 এর অবশিষ্ট থাকে। (5 এবং 13টি প্রথম শিবিরে, 7 এবং 11টি দ্বিতীয়টিতে পড়ে।) অবশিষ্ট থাকার কোন স্পষ্ট কারণ নেই -1 মৌলিক এবং অবশিষ্ট -3 মৌলিক মৌলিকভাবে ভিন্ন উপায়ে আচরণ করা উচিত। কিন্তু তারা করে।

একটি মূল পার্থক্য 19 শতকের সবচেয়ে প্রভাবশালী গণিতবিদ, কার্ল গাউস দ্বারা প্রথম প্রমাণিত, দ্বিঘাত পারস্পরিকতা নামক একটি সম্পত্তি থেকে উদ্ভূত হয়। "এটি একটি মোটামুটি সহজ বিবৃতি যা সর্বত্র প্রয়োগ রয়েছে, সব ধরণের গণিতে, শুধু সংখ্যা তত্ত্ব নয়," বলেন জেমস রিকার্ডস, কলোরাডো বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ, বোল্ডার। "কিন্তু এটি সত্যিই আকর্ষণীয় হওয়ার জন্য যথেষ্ট অ-স্পষ্ট।"

সংখ্যা তত্ত্ব হল গণিতের একটি শাখা যা পূর্ণ সংখ্যা নিয়ে কাজ করে (যেমন, বলুন, আকার বা ক্রমাগত পরিমাণের বিপরীতে)। মৌলিক সংখ্যাগুলি - যেগুলি শুধুমাত্র 1 দ্বারা বিভাজ্য এবং নিজেরাও - এর মূলে রয়েছে, যেমন DNA জীববিজ্ঞানের মূল। চতুর্মুখী পারস্পরিকতা গণিতবিদদের ধারণাকে বদলে দিয়েছে যে তাদের সম্পর্কে প্রমাণ করা কতটা সম্ভব। আপনি যদি মৌলিক সংখ্যাগুলিকে একটি পর্বতশ্রেণী হিসাবে মনে করেন, পারস্পরিকতা একটি সংকীর্ণ পথের মতো যা গণিতবিদদের পূর্বে পৌঁছানো যায় না এমন শিখরে আরোহণ করতে দেয় এবং সেই শিখরগুলি থেকে, লুকিয়ে থাকা সত্যগুলি দেখতে দেয়।

যদিও এটি একটি পুরানো উপপাদ্য, এটিতে নতুন অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে। এই গ্রীষ্মে, রিকার্ডস এবং তার সহকর্মী ক্যাথরিন স্ট্যাঞ্জএকসাথে দুই ছাত্রের সাথে, একটি ব্যাপকভাবে গৃহীত অনুমানকে অস্বীকার করেছে কিভাবে ছোট চেনাশোনা একটি বড় একটি ভিতরে প্যাক করা যেতে পারে সম্পর্কে. ফলাফল গণিতবিদদের হতবাক। পিটার সারনাক, ইনস্টিটিউট ফর অ্যাডভান্সড স্টাডি এবং প্রিন্সটন ইউনিভার্সিটির একজন নম্বর তাত্ত্বিক, তার দলের পরেই একটি সম্মেলনে স্টেঞ্জের সাথে কথা বলেছেন পোস্ট তাদের কাগজ। "তিনি আমাকে বলেছিলেন যে তার একটি পাল্টা উদাহরণ আছে," সারনাক স্মরণ করে। “আমি সঙ্গে সঙ্গে তাকে জিজ্ঞেস করলাম, 'আপনি কি কোথাও পারস্পরিক ব্যবহার করছেন?' এবং এটি আসলেই সে ব্যবহার করছিল।'

প্রাইমগুলির জোড়ায় নিদর্শন

পারস্পরিকতা বোঝার জন্য, আপনাকে প্রথমে মডুলার পাটিগণিত বুঝতে হবে। আপনি যখন মডুলাস নামক একটি সংখ্যা দ্বারা ভাগ করছেন তখন মডুলার অপারেশনগুলি অবশিষ্টাংশ গণনার উপর নির্ভর করে। উদাহরণস্বরূপ, 9 মডুলো 7 হল 2, কারণ আপনি যদি 9 কে 7 দিয়ে ভাগ করেন, তাহলে আপনার কাছে 2 অবশিষ্ট থাকবে। মডুলো 7 সংখ্যা পদ্ধতিতে, 7টি সংখ্যা রয়েছে: {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6}। আপনি এই সংখ্যাগুলি যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ করতে পারেন।

পূর্ণসংখ্যার মতোই, এই সংখ্যা পদ্ধতিতে নিখুঁত বর্গাকার থাকতে পারে—সংখ্যা যা অন্য সংখ্যার গুণের গুণফল। উদাহরণস্বরূপ, 0, 1, 2 এবং 4 হল নিখুঁত বর্গক্ষেত্র মডুলো 7 (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4, এবং 3 × 3 = 2 মোড 7)। প্রতিটি সাধারণ বর্গক্ষেত্র 0, 1, 2 বা 4 মডুলো 7 এর সমান হবে। (উদাহরণস্বরূপ, 6 × 6 = 36 = 1 মোড 7.) যেহেতু মডুলার সংখ্যা সিস্টেমগুলি সসীম, নিখুঁত বর্গগুলি বেশি সাধারণ।

চতুর্মুখী পারস্পরিকতা একটি অপেক্ষাকৃত সহজবোধ্য প্রশ্ন থেকে উদ্ভূত হয়। দুটি প্রাইম দেওয়া হয়েছে p এবং q, যদি আপনি জানেন যে p একটি নিখুঁত বর্গক্ষেত্র মডিউল q, বলতে পারেন কিনা q একটি নিখুঁত বর্গক্ষেত্র মডিউল p?

দেখা যাচ্ছে যে যতক্ষণ না হয় p or q যদি 1 দ্বারা ভাগ করা হয় তখন 4 এর একটি অবশিষ্ট থাকে p একটি নিখুঁত বর্গক্ষেত্র মডিউল q, তারপর q এছাড়াও একটি নিখুঁত বর্গক্ষেত্র মডিউল p. বলা হয় দুটি প্রাইম পারস্পরিক সম্পর্ক।

অন্যদিকে, যদি উভয়েই 3 এর একটি অবশিষ্ট রেখে যায় (যেমন, বলুন, 7 এবং 11) তাহলে তারা প্রতিদান দেবে না: যদি p একটি বর্গাকার মডিউল q, সেটার অর্থ হল q একটি বর্গাকার মডিউল হবে না p. এই উদাহরণে, 11 হল একটি বর্গাকার মডুলো 7, যেহেতু 11 = 4 মোড 7 এবং আমরা ইতিমধ্যেই জানি যে 4 হল একটি নিখুঁত স্কোয়ার মডুলো 7৷ এটি অনুসরণ করে যে 7 একটি বর্গক্ষেত্র মডুলো 11 নয়৷ যদি আপনি সাধারণের তালিকা নেন বর্গক্ষেত্র (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …) এবং তাদের অবশিষ্ট মডিউল 11 দেখুন, তাহলে 7 কখনই প্রদর্শিত হবে না।

এটি, একটি প্রযুক্তিগত শব্দ ব্যবহার করার জন্য, সত্যিই অদ্ভুত!

সাধারণীকরণের ক্ষমতা

অনেক গাণিতিক ধারণার মতো, পারস্পরিকতা প্রভাবশালী হয়েছে কারণ এটি সাধারণীকরণ করা যেতে পারে।

গাউস 1801 সালে চতুর্মুখী পারস্পরিকতার প্রথম প্রমাণ প্রকাশ করার পরপরই, গণিতবিদরা ধারণাটিকে বর্গক্ষেত্রের বাইরে প্রসারিত করার চেষ্টা করেছিলেন। “তৃতীয় শক্তি বা চতুর্থ শক্তি কেন নয়? তারা কল্পনা করেছিল যে হয়ত একটি কিউবিক রেসিপ্রোসিটি আইন বা কোয়ার্টিক রেসিপ্রোসিটি আইন আছে,” বলেন কিথ কনরাড, কানেকটিকাট বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন সংখ্যা তাত্ত্বিক।

কিন্তু তারা আটকে গিয়েছিল, কনরাড বলেছিলেন, "কারণ কোন সহজ প্যাটার্ন নেই।" গাউস জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে পারস্পরিকতা নিয়ে আসার পর এটি পরিবর্তিত হয়, যা বিয়োগ 1 এর বর্গমূল যোগ করে, যা দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় i, সাধারণ সংখ্যায়। তিনি এই ধারণাটি প্রবর্তন করেছিলেন যে সংখ্যা তাত্ত্বিকরা কেবল সাধারণ পূর্ণসংখ্যাই নয়, তথাকথিত গাউসিয়ান পূর্ণসংখ্যার মতো অন্যান্য পূর্ণসংখ্যার মতো গাণিতিক সিস্টেমগুলিকে বিশ্লেষণ করতে পারে, যা জটিল সংখ্যা যার বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ উভয়ই পূর্ণসংখ্যা।

গাউসিয়ান পূর্ণসংখ্যার সাথে, প্রাইম হিসাবে যা গণনা করা হয় তার পুরো ধারণাটি পরিবর্তিত হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, 5 আর প্রাইম নয়, কারণ 5 = (2 + i) × (2 − i) "আপনাকে আবার শুরু করতে হবে যেমন আপনি প্রাথমিক বিদ্যালয়ে আছেন," কনরাড বলেছিলেন। 1832 সালে, গাউস তার নাম বহনকারী জটিল পূর্ণসংখ্যাগুলির জন্য একটি কোয়ার্টিক পারস্পরিক আইন প্রমাণ করেছিলেন।

হঠাৎ করে, গণিতবিদরা এই নতুন সংখ্যা পদ্ধতিতে মডুলার পাটিগণিত এবং ফ্যাক্টরাইজেশনের মতো সরঞ্জামগুলি প্রয়োগ করতে শিখেছিলেন। কনরাডের মতে চতুর্মুখী পারস্পরিক অনুপ্রেরণা ছিল।

যে প্যাটার্নগুলি জটিল সংখ্যা ছাড়াই অধরা ছিল তা এখন আবির্ভূত হতে শুরু করেছে। 1840-এর দশকের মাঝামাঝি গটহোল্ড আইজেনস্টাইন এবং কার্ল জ্যাকোবি প্রথম ঘনক্ষেত্র পারস্পরিক আইন প্রমাণ করেছিলেন।

তারপর, 1920-এর দশকে, আধুনিক বীজগণিতের অন্যতম প্রতিষ্ঠাতা এমিল আর্টিন আবিষ্কার করেন যে কনরাড "চূড়ান্ত পারস্পরিক আইন" বলে অভিহিত করেন। অন্যান্য সমস্ত পারস্পরিক আইনকে আর্টিনের পারস্পরিক আইনের বিশেষ কেস হিসাবে দেখা যেতে পারে।

এক শতাব্দী পরে, গণিতবিদরা এখনও গাউসের প্রথম চতুর্মুখী পারস্পরিক আইনের নতুন প্রমাণ তৈরি করছেন এবং এটিকে অভিনব গাণিতিক প্রসঙ্গে সাধারণীকরণ করছেন। অনেক স্বতন্ত্র প্রমাণ থাকার দরকারী হতে পারে. "আপনি যদি ফলাফলটিকে একটি নতুন সেটিংয়ে প্রসারিত করতে চান, তাহলে হয়ত একটি আর্গুমেন্ট সহজেই চলে যাবে, অন্যটি হবে না," কনরাড বলেন।

কেন পারস্পরিকতা এত দরকারী

গ্রাফ তত্ত্ব, বীজগণিত টপোলজি এবং ক্রিপ্টোগ্রাফির মতো বৈচিত্র্যময় গবেষণার ক্ষেত্রে চতুর্মুখী পারস্পরিকতা ব্যবহার করা হয়। পরবর্তীতে, একটি প্রভাবশালী পাবলিক কী এনক্রিপশন অ্যালগরিদম 1982 সালে তৈরি হয়েছিল শফি গোল্ডওয়াসার এবং সিলভিও মিকালি দুটি বড় প্রাইমকে গুণ করার উপর নির্ভর করে p এবং q একসাথে এবং ফলাফল আউটপুট, Nএকটি সংখ্যা সহ, x, যা একটি বর্গাকার মডিউল নয় N. অ্যালগরিদম ব্যবহার করে N এবং x বড় সংখ্যার স্ট্রিংগুলিতে ডিজিটাল বার্তা এনক্রিপ্ট করতে। এই স্ট্রিংটি ডিক্রিপ্ট করার একমাত্র উপায় হল এনক্রিপ্ট করা স্ট্রিং-এর প্রতিটি সংখ্যা একটি বর্গাকার মডুলো কিনা তা নির্ধারণ করা N — প্রাইমগুলির মানগুলি না জেনে কার্যত অসম্ভব p এবং q.

এবং অবশ্যই, সংখ্যা তত্ত্বের মধ্যে চতুর্মুখী পারস্পরিকতা বারবার উঠে আসে। উদাহরণস্বরূপ, এটি প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যে 1 মডুলো 4 এর সমান যেকোন মৌলিক সংখ্যা দুটি বর্গক্ষেত্রের যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, 13 সমান 1 মডুলো 4, এবং 13 = 4 + 9 = 2² + + 3²) বিপরীতে, 3 মডুলো 4 এর সমান প্রাইমগুলি কখনই দুটি বর্গক্ষেত্রের যোগফল হিসাবে লেখা যাবে না।

সারনাক উল্লেখ করেছেন যে খোলা প্রশ্নগুলি সমাধান করতে পারস্পরিকতা ব্যবহার করা যেতে পারে, যেমন তিনটি ঘনকের যোগফল হিসাবে কোন সংখ্যাগুলি লেখা যেতে পারে তা নির্ধারণ করা। এটা জানা যায় যে সংখ্যাগুলি 4 বা 5 মডুলো 9 এর সমান তিনটি ঘনকের সমষ্টির সমান নয়, তবে অন্যান্যগুলি একটি রহস্য থেকে যায়৷ (2019 সালে, অ্যান্ড্রু বুকার উত্পন্ন শিরোনাম যখন তিনি আবিষ্কার করেন যে (8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33।)

এর সমস্ত অনেক অ্যাপ্লিকেশন এবং বিভিন্ন প্রমাণের জন্য, পারস্পরিকতা সম্পর্কে এমন কিছু রয়েছে যা একটি রহস্য রয়ে গেছে, স্ট্যাঞ্জ বলেছেন।

"একটি গাণিতিক প্রমাণের সাথে প্রায়ই যা ঘটে তা হল আপনি প্রতিটি পদক্ষেপ অনুসরণ করতে পারেন; আপনি বিশ্বাস করতে পারেন যে এটা সত্য,” তিনি বলেন. "এবং আপনি এখনও অন্য প্রান্ত থেকে বেরিয়ে আসতে পারেন, 'কিন্তু কেন?'

বোঝা, একটি ভিসারাল স্তরে, যা 7 এবং 11 কে 5 এবং 13 থেকে আলাদা করে তোলে তা চিরকালের জন্য নাগালের বাইরে হতে পারে। "আমরা কেবলমাত্র বিমূর্ততার অনেকগুলি স্তরকে জাগল করতে পারি," তিনি বলেছিলেন। "এটি সংখ্যা তত্ত্বের সমস্ত জায়গা জুড়ে দেখায় … এবং তবুও এটি এমন একটি ধাপের বাইরে যা মনে হয় আপনি সত্যিই জানতে পারেন।"

কোয়ান্টা আমাদের শ্রোতাদের আরও ভালভাবে পরিবেশন করার জন্য সমীক্ষার একটি সিরিজ পরিচালনা করছে। আমাদের নিন গণিত পাঠক জরিপ এবং আপনি বিনামূল্যে জিততে প্রবেশ করা হবে কোয়ান্টা বণিক।