গণিতে, সহজ নিয়মগুলি জটিলতা এবং সৌন্দর্যের মহাবিশ্বকে আনলক করতে পারে। বিখ্যাত ফিবোনাচি ক্রমটি নিন, যা নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: এটি 1 এবং 1 দিয়ে শুরু হয় এবং প্রতিটি পরবর্তী সংখ্যা পূর্ববর্তী দুটির যোগফল। প্রথম কয়েকটি সংখ্যা হল:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …

সহজ, হ্যাঁ, কিন্তু এই নিরবচ্ছিন্ন রেসিপিটি সুদূরপ্রসারী তাত্পর্যের একটি প্যাটার্নের জন্ম দেয়, যা প্রাকৃতিক বিশ্বের খুব ফ্যাব্রিকে বোনা বলে মনে হয়। এটি নটিলাসের খোলস, আমাদের আঙ্গুলের হাড় এবং গাছের ডালে পাতার বিন্যাসে দেখা যায়। এর গাণিতিক নাগাল অন্যান্য ক্ষেত্রের মধ্যে জ্যামিতি, বীজগণিত এবং সম্ভাব্যতা পর্যন্ত প্রসারিত। ক্রমটি পশ্চিমে চালু হওয়ার পর থেকে আট শতাব্দী - ভারতীয় গণিতবিদরা ফিবোনাচির অনেক আগে এটি অধ্যয়ন করেছিলেন - সংখ্যাগুলি গবেষকদের আগ্রহকে আকৃষ্ট করে চলেছে, এটি একটি প্রমাণ যে কত গাণিতিক গভীরতা এমনকি সবচেয়ে প্রাথমিক সংখ্যা ক্রমকেও অন্তর্নিহিত করতে পারে।

ফিবোনাচি ক্রমানুসারে, প্রতিটি পদ তার আগে আসা শব্দগুলির উপর নির্ভর করে। এই ধরনের পুনরাবৃত্তিমূলক ক্রমগুলি বিস্তৃত আচরণ প্রদর্শন করতে পারে, কিছু আশ্চর্যজনকভাবে বিপরীতমুখী। উদাহরণস্বরূপ, আমেরিকান গণিতবিদ দ্বারা 1980-এর দশকে প্রথম বর্ণিত সিকোয়েন্সের একটি কৌতূহলী পরিবার নিন মাইকেল সোমোস.

ফিবোনাচি সিকোয়েন্সের মতো, একটি সোমোস সিকোয়েন্স একটি সিরিজ দিয়ে শুরু হয়। একটি সোমোস-k ক্রম দিয়ে শুরু হয় k তাদের মধ্যে. সোমোসের প্রতিটি নতুন পদ-k ক্রমটি পূর্ববর্তী পদগুলিকে জোড়া দিয়ে, প্রতিটি জোড়াকে একসাথে গুণ করে, জোড়াগুলি যোগ করে এবং তারপর পদ দ্বারা ভাগ করে সংজ্ঞায়িত করা হয় k ক্রম ফিরে অবস্থান.

সিকোয়েন্স খুব আকর্ষণীয় হয় না যদি k সমান 1, 2 বা 3 — এগুলি কেবল পুনরাবৃত্তির একটি সিরিজ। না হইলে k = 4, 5, 6 বা 7 ক্রমগুলির একটি অদ্ভুত বৈশিষ্ট্য রয়েছে। যদিও অনেকগুলি বিভাজন জড়িত, ভগ্নাংশগুলি উপস্থিত হয় না।

"সাধারণত আমাদের এই ধরণের ঘটনা নেই," সোমোস বলেছিলেন। “এটি একটি প্রতারণামূলকভাবে সহজ পুনরাবৃত্তি, ফিবোনাচির মতো। কিন্তু সেই সরলতার পেছনে অনেক কিছু আছে।”

অন্যান্য গণিতবিদরা সোমোস সিকোয়েন্স এবং গণিতের আপাতদৃষ্টিতে সম্পর্কহীন ক্ষেত্রগুলির মধ্যে চমকপ্রদ সংযোগ উন্মোচন করে চলেছেন। জুলাই মাসে পোস্ট করা একটি কাগজ তাদের ব্যবহার করে সমাধান নির্মাণ শিকারী-শিকারের মিথস্ক্রিয়া থেকে উচ্চ-শক্তির প্লাজমায় ভ্রমণকারী তরঙ্গ পর্যন্ত সবকিছু মডেল করতে ব্যবহৃত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সিস্টেমে। এগুলিকে বলা হয় গাণিতিক বস্তুর গঠন অধ্যয়ন করতেও ব্যবহৃত হয় ক্লাস্টার বীজগণিত এবং এর সাথে সংযুক্ত উপবৃত্তাকার বক্ররেখা — যা ছিল ফার্ম্যাটের শেষ উপপাদ্য ক্র্যাক করার চাবিকাঠি।

জেনিস মালোফ, ইলিনয় বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন স্নাতক ছাত্র, প্রথম প্রমাণ প্রকাশ করেছেন যে Somos-4 এবং Somos-5 ক্রম অবিচ্ছেদ্য (অর্থাৎ তাদের সমস্ত পদ পূর্ণসংখ্যা) 1992 সালে। অন্যান্য প্রমাণ বিভিন্ন গণিতবিদদের দ্বারা একই ফলাফলের প্রায় একই সময়ে আবির্ভূত হয়, প্রমাণ সহ যে Somos-6 এবং Somos-7 অনুক্রমগুলি অবিচ্ছেদ্য।

সোমোস সিকোয়েন্সের এই অদ্ভুত সম্পত্তি গণিতবিদদের চমকে দিয়েছে। "সোমোস সিকোয়েন্সগুলি সম্পর্কে জানার সাথে সাথেই আমাকে কৌতূহলী করেছিল," বলেছেন জেমস প্রোপ, ম্যাসাচুসেটস বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিতের অধ্যাপক, লোয়েল। “সোমোস-4 এর মাধ্যমে সোমোস-7 সর্বদা পূর্ণসংখ্যা দেয়, আপনি যত দূরেই যান না কেন, আপনি যখন একটি নির্বোধ দৃষ্টিকোণ থেকে জিনিসগুলি দেখেন তখন এটি একটি অলৌকিক ঘটনা বলে মনে হয়েছিল। তাই ভিন্ন দৃষ্টিভঙ্গির প্রয়োজন ছিল।”

প্রপ 2000 এর দশকের গোড়ার দিকে একটি নতুন দৃষ্টিভঙ্গি খুঁজে পেয়েছিলেন, যখন তিনি এবং তার সহকর্মীরা আবিষ্কার করেছিলেন যে Somos-4 অনুক্রমের সংখ্যাগুলি আসলে কিছু গণনা করছে। অনুক্রমের শর্তাবলী নির্দিষ্ট গ্রাফে পাওয়া কাঠামোর সাথে মিলে যায়। কিছু গ্রাফের জন্য, প্রান্তের (রেখা) সাথে শীর্ষবিন্দু (বিন্দু) জোড়া লাগানো সম্ভব যাতে প্রতিটি শীর্ষবিন্দু ঠিক একটি অন্য শীর্ষের সাথে সংযুক্ত থাকে — সেখানে কোনো জোড়াবিহীন শীর্ষবিন্দু নেই, এবং কোনো শীর্ষবিন্দু একাধিক প্রান্তের সাথে সংযুক্ত নেই। Somos-4 সিকোয়েন্সের পদগুলি গ্রাফের একটি নির্দিষ্ট অনুক্রমের জন্য বিভিন্ন নিখুঁত মিলের সংখ্যা গণনা করে।

আবিষ্কারটি কেবল সোমোস সিকোয়েন্সে একটি নতুন দৃষ্টিভঙ্গি দেয়নি, তবে গ্রাফ রূপান্তরগুলি সম্পর্কে চিন্তাভাবনা এবং বিশ্লেষণ করার নতুন উপায়ও চালু করেছে। প্রপ্প এবং তার ছাত্ররা একটি ফলাফল প্রকাশ করে উদযাপন করেছে টি-শার্ট.

"আমার কাছে গণিতের আকর্ষণের একটি বড় অংশ হল যখন আপনি বিভিন্ন পথ ধরে একই গন্তব্যে পৌঁছান এবং মনে হয় অলৌকিক বা গভীর কিছু চলছে," প্রপ বলেছিলেন। “এই সিকোয়েন্সগুলির দুর্দান্ত জিনিস হল এখানে বিভিন্ন দৃষ্টিভঙ্গি রয়েছে যা ব্যাখ্যা করে যে আপনি কেন পূর্ণসংখ্যা পান। সেখানে লুকানো গভীরতা আছে।"

উচ্চ-সংখ্যার সোমোস সিকোয়েন্সের জন্য গল্পটি পরিবর্তিত হয়। Somos-18 এর প্রথম 8টি পদ পূর্ণসংখ্যা, কিন্তু 19তম পদটি একটি ভগ্নাংশ। এর পরের প্রতিটি সোমোস সিকোয়েন্সে ভগ্নাংশের মান রয়েছে।

1970-এর দশকে জার্মান গণিতবিদ ফ্রিটজ গোবেল দ্বারা বিকশিত আরেকটি ধরণের সিকোয়েন্স হল সোমোস সিকোয়েন্সের একটি আকর্ষণীয় কাউন্টারপয়েন্ট। দ্য nগোবেল সিকোয়েন্সের তম পদটিকে পূর্ববর্তী সমস্ত পদের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, প্লাস 1, দ্বারা বিভক্ত n. সোমোস সিকোয়েন্সের মতো, গোবেল সিকোয়েন্সে বিভাজন জড়িত, তাই আমরা আশা করতে পারি যে পদগুলি পূর্ণসংখ্যা থাকবে না। কিন্তু কিছুক্ষণের জন্য - ক্রমটি বড় হওয়ার সাথে সাথে - তারা বলে মনে হচ্ছে।

গোবেল সিকোয়েন্সের 10 তম মেয়াদ প্রায় 1.5 মিলিয়ন, 11 তম 267-কিছু বিলিয়ন। 43 তম শব্দটি গণনা করার জন্য অনেক বড় - এতে প্রায় 178 বিলিয়ন সংখ্যা রয়েছে। কিন্তু 1975 সালে ডাচ গণিতবিদ ড হেনড্রিক লেনস্ট্রা দেখায় যে প্রথম 42টি পদের বিপরীতে, এই 43তম পদটি একটি পূর্ণসংখ্যা নয়।

গোবেল ক্রমগুলিকে সমষ্টির বর্গক্ষেত্রগুলিকে ঘনক্ষেত্র, চতুর্থ শক্তি বা এমনকি উচ্চতর সূচক দিয়ে প্রতিস্থাপন করে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। (এই কনভেনশনের অধীনে, তার আসল ক্রমটিকে 2-গোবেল ক্রম বলা হয়।) এই ক্রমগুলি পূর্ণসংখ্যা পদগুলির একটি বর্ধিত প্রসারিত দিয়ে শুরু করার একটি আশ্চর্যজনক প্রবণতাও প্রদর্শন করে। 1988 সালে, হেনরি ইবস্টেড দেখিয়েছেন যে 89-গোবেল সিকোয়েন্সের প্রথম 3টি পদ (যা বর্গক্ষেত্রের পরিবর্তে কিউব ব্যবহার করে) পূর্ণসংখ্যা, কিন্তু 90তম নয়। অন্যান্য গোবেল সিকোয়েন্সের পরবর্তী গবেষণায় আরও দীর্ঘ প্রসারিত পাওয়া গেছে। 31-গোবেল ক্রম, উদাহরণস্বরূপ, একটি সম্পূর্ণ 1,077 পূর্ণসংখ্যা পদ দিয়ে শুরু হয়।

জুলাই মাসে, কিউশু বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিতবিদ রিনোসুকে মাতসুহিরা, তোশিকি মাতসুসাকা এবং কোকি সুচিদা একটি কাগজ শেয়ার করেছেন একটি জন্য যে দেখাচ্ছে k-গোবেল সিকোয়েন্স, পছন্দ যাই হোক না কেন k, অনুক্রমের প্রথম 19টি পদ সর্বদা পূর্ণসংখ্যা। তারা একটি জাপানি মাঙ্গা নামক প্রশ্নটি দেখার জন্য অনুপ্রাণিত হয়েছিল Seisū-tan, যা অনুবাদ করে "দ্য টেল অফ ইন্টিজার।" ক কমিক বইয়ে ফ্রেম পাঠকদের ন্যূনতম সম্ভাব্য মান বের করতে বলেছেন N_k, যে বিন্দুতে a k-গোবেল ক্রম পূর্ণসংখ্যা পদ তৈরি করা বন্ধ করে দেয়। তিনজন গণিতবিদ প্রশ্নের উত্তর দিতে বের হলেন। "এই ধরনের বর্ধিত সময়ের জন্য পূর্ণসংখ্যার অপ্রত্যাশিত অধ্যবসায় আমাদের অন্তর্দৃষ্টির বিরোধিতা করে," মাতসুসাকা বলেছিলেন। "যখন ঘটনাটি অন্তর্দৃষ্টির বিপরীতে ঘটে, আমি বিশ্বাস করি সবসময় সৌন্দর্য উপস্থিত থাকে।"

তারা হিসাবে পুনরাবৃত্তি আচরণ একটি প্যাটার্ন পাওয়া গেছে k বৃদ্ধি পায় সীমিত সংখ্যক পুনরাবৃত্ত মামলার উপর ফোকাস করে, তারা গণনাকে সহজ করে তোলে এবং তারা প্রমাণটি সম্পূর্ণ করতে সক্ষম হয়।

ক্রমটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখুন N_k আরেকটি বিস্ময় প্রকাশ করে: N_k এটি খাঁটিভাবে এলোমেলো হলে আপনার প্রত্যাশার চেয়ে অনেক বেশি প্রায়ই প্রাইম। “সাথে k-গোবেল সিকোয়েন্সে এটা শুধু উল্লেখযোগ্য নয় যে তারা পূর্ণসংখ্যা,” বলেন রিচার্ড গ্রিন, কলোরাডো বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ। "বিস্ময়কর বিষয় হল মৌলিক সংখ্যাগুলি প্রায়শই দেখায়। এটি দেখে মনে হচ্ছে আরও গভীর কিছু হতে পারে।"

যদিও নতুন কাগজ তার প্রমাণ উপস্থাপন করে N_k সর্বদা সর্বদা কমপক্ষে 19 হয়, এটি সর্বদা সসীম কিনা তা জানা যায় না, বা একটি বিদ্যমান কিনা k যার জন্য ক্রম অনির্দিষ্টকালের জন্য পূর্ণসংখ্যা ধারণ করে। "N_k রহস্যময় আচরণ করে। … এর অন্তর্নিহিত প্যাটার্ন বোঝার একটি মৌলিক ইচ্ছা আছে,” মাতসুসাকা বলেন। “শিক্ষকদের দেওয়া ধাঁধা সমাধান করার সময় আমি ছোটবেলায় যে আনন্দ অনুভব করেছি তার অনুরূপ হতে পারে। এখনও, সেই সময়ের সেই অনুভূতিগুলি আমার মধ্যে রয়ে গেছে।"

কোয়ান্টা আমাদের শ্রোতাদের আরও ভালভাবে পরিবেশন করার জন্য সমীক্ষার একটি সিরিজ পরিচালনা করছে। আমাদের নিন গণিত পাঠক জরিপ এবং আপনি বিনামূল্যে জিততে প্রবেশ করা হবে কোয়ান্টা বণিক।